Касательная плоскость и нормаль к поверхности

нормаль

N

j N₀

касательная плоскость

рис.8.1.

Пусть N и N₀ – точки данной поверхности (рис.7.1). Проведем прямую NN₀. Плоскость, которая проходит через точку N₀, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN₀ и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN₀.

Определение 8.10. Нормалью к поверхности в точке N₀ называется прямая, проходящая через точку N₀ перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.

В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.

Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М₀(х₀, у₀), касательная плоскость в точке N₀(x₀,y_0,(x₀,y₀)) существует и имеет уравнение:

. (8.12)

Уравнение нормали к поверхности в этой точке:

(8.13)

Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х₀, у₀) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х₀, у₀) к точке (х₀+Dх, у₀+Dу).

Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

Пример 8.3. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке М (1, 1, 1).

Решение. Находим частные производные и их значения в точке М:

Уравнение касательной плоскости:

Уравнение нормали: