ПРОВЕРОЧНЫЙ ТЕСТ 3 страница

Приравняв правые части (а) и (б) и разделив обе части по­лученного равенства на Δ T, получим

c _V(m ₁ + m ₂) = с _V,1 m ₁ + c _V,2 m ₂,

откуда

(в)

или

c _V = c _V,1ω₁ + c _V,2ω_2, (г)

где - - массовые доли неона и водорода в смеси.

Подставив в формулу (г) числовые значения величин, найдем:

с_V = (6,24∙10²∙0,8 + 1,04∙10⁴∙0, 2) Дж/(кг∙К) = 2,58∙10³ Дж/(кг∙К).

Рассуждая таким же образом, получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:

c _р = c _р,1ω₁ + c _р,2ω_2, (д)

Подставим в формулу (д) числовые значения величин:

с _р= (1,04∙10³∙0,8 + 1,46∙10⁴∙0,2) Дж/(кг∙К)= 3,75∙10³ Дж/(кг∙К).

№ 7. Кислород массой т = 2 кг занимает объем V ₁ = I м³ и находится под давлением p ₁ = 0,2 MПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V ₂= 3 м³, а затем при постоян­ном объеме до давления p ₃ = 0,5 МПа. Найти изменение Δ U внутрен­ней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q, передан­ную газу. Построить график процесса.

Р е ш е н и е.

Изменение внутренней энергии газа выражается форму­лой

(а)

где i - число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул ки- слорода i =5), μ - молярная масса.

Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения Клапейрона – Менделеева pV = :

. (б)

Выпишем заданные величиныв системе СИ: m = 2 кг, μ = 32 10^-3 кг/моль, R = 8,31 Дж/(моль ∙ К), V ₁ = 1 м³, V ₂ = V ₃ = 3 м³, р ₁ = р ₂ = 0,2 МПа = 2×10⁵ Па, р ₃ = 0,5 МПа = 5×I0⁵ Па. Подставляя эти значения в выражение (б) и выполняя арифметические действия, получим:

;

;

.

Подставляя в выражение (а) числовые значения величин, входящих в него, находим:

.

Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой

Подставляя числовые значения величин, получим

.

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю, т.е. А ₂ =0. Следовательно, полная работа, совершенная газом, равна А = А ₁ + А ₂ = 0,4×10⁶ Дж.

Согласно первому началу термодинамики, теплота Q, передан­ная газу, равна сумме изменения внутренней энергии Δ U и работы А; Q = D U + А, следовательно, Q = 0,4×10⁶ Дж + 3,24×10⁶ Дж = 3,64×I0⁶ Дж = 3,64 МДж.

График процесса приведен на рисунке.

№ 8. В цилиндре под поршнем находится водород массой m = 0,02 кг при температуре Т = 300 К. Водородсначала расши­рился адиабатически, увеличив свой объем в n ₁= 5 раз, а затем был cжат изотермически, причем объем газа уменьшился в n ₂ = 5 раз. Найти температуру в конце адиабатического расширения и работу, совершенную газом при этих процессах. Изобразить процесс графи­чески.

Р е ш е н и е.

Температуры и объемы газа, совершающего адиабатический процесс, связаны между собой соотношением

,

где γ - отношение теплоемкости газа при постоянном давлении и постоянном объеме (для водорода как двухатомного газа γ =1,4),

n ₁ = V ₂/ V ₁ = 5.

Отсюда получаем выражение для конечной температуры T ₂

.

Подставляя числовые значения заданных величин, находим

.

Так как 5^0,4 = 1,91, то Т ₂ = 157 К.

Работа A ₁ газа при адиабатическом расширении может быть определена по формуле

где С _V - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Подставив числовые значения величин: R = 8,31 Дж/(моль К) и i = 5 (для водорода как двухатомного газа), μ = 2 10^-3 кг/моль, m = 0,02 кг, T ₁ = 300 К, T ₂ = 157 К в правую часть последней формулы, получим

Работа А ₂ газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде

где n ₂ = V ₂/ V ₃ = 5.

Подставляя известные числовые значения величин, входящих в правую часть этого равенства, находим

Знак “минус” показывает, что при сжатии работа газа совершается над газом внешними силами. График процесса – на рисунке.

№ 9. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура нагревателя Т ₁ = 500 К. Определить термический к.п.д. цикла и температуру Т ₂ охладителя тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от нагревателя, машина совершает работу А = 350 Дж.

Р е ш е н и е.

Термический к.п.д. тепловой машины, называемый также коэффициентом использования теплоты, показывает, какая доля теплоты, полученной от нагревателя, превращается в механическую работу. Термический к.п.д. выражается формулой

,

где Q _н – теплота, полученная от нагревателя; А – работа, совершенная рабочим телом тепловой машины. Подставив числовые значения в эту формулу, получим

Зная к.п.д. цикла, можно по формуле определить температуру охладителя Т ₂:

Т ₂ = Т ₁(1- η).

Подставив в эту формулу полученное значение к.п.д, и температуру T ₁нагревателя, получим

Т₂ = 500(1 – 0,35) К = 325 К.

№ 10. Найти изменение ΔS энтропии при нагревании воды массой m = 100 г от температуры t ₁= 0°С до температуры t ₂ = 100°С и последующим превращением воды в пар той же темпе­ратуры.

Р е ш е н и е.

Найдем отдельно изменение энтропии Δ S ^'′ при нагре­вании воды и изменение энтропии Δ S ′′ при превращении ее в пар. Полное изменение энтропии выразится суммойΔ S ^'′ иΔ S ′′.

Как известно, изменение энтропии выражается общей формулой

. (а)

При бесконечно малом изменении температуры нагреваемого те­ла затрачивается количество теплоты d Q = m c d T, где m - масса тела; c - его удельная теплоемкость. Подставив выражение d Q в равенство (а), получим формулу для вычисления изменения энтропии при нагревании воды:

.

Вынесем за знак интеграла постоянные величины и произведем интегрирование, тогда получим

.

Выразим заданные величины в единицах СИ: m = 0,1 кг; Т ₁ = 273 К; T ₂ = 373 К; c = 4190 Дж/кг К; λ = 2,26 МДж/кг.

После вычислений найдем

ΔS΄ = 132 Дж/К.

При вычислении по формуле (а) изменение энтропии во время превращения воды в пар той же температуры постоянная температура Т ₂ выноситсяза знак интеграла. Вычислив интеграл, найдем

, (б)

где Q - количество теплоты, переданное при превращении нагретой воды в пар той же температуры.

Подставив в равенство (б) выражение количества теплоты Q = λ m, где λ – удельная теплота парообразования, получим

. (в)

Произведя вычисления по формуле (в), найдем

Δ S ΄΄= 605 Дж/К.

Полное изменение энтропии при нагревании воды и последующем

превращении ее в пар:

Δ S = Δ S ΄ + Δ S ΄΄ = 737 Дж/К.

5.2. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Вычислить массу m атома азота. (Ответ. 2,33∙10^-26 кг).

2. Плотность газа ρ при давлении р = 96 кПа и температу­ре t = 0°С равна 1,35 г/л. Найти молярную массу μ газа. (От­вет. 32∙10^-3 кг/моль).

3. Определить давление p ₁ и p ₂ газа, содержащего N = 10⁹ мо­лекул и имеющего объем V = 1 см³ при температуре T ₁ = 3 К и T ₂ = 1000 К. (Ответ. 41,4 нПа; 13,8 мкПа).

4. При температуре t = 35°С и давлении p = 708 кПа плот­ность некоторого газа ρ = 12,2 кг/м³. Определить относительную молекулярную массу μ газа. (Ответ. 44,1).

5. Какой объем V занимает смесь азота массой m ₁ = I кг и гелия массой m ₂ = I кг при нормальных условиях? (Ответ. 6,4 м³).

6. В баллоне вместимостью V = 15 л находится смесь, содер­жащая m ₁ = 10 г водорода, m ₂ = 54 г водяного пара и m ₃ = 60 г окиси углерода. Температура смеси t = 27°С. Определить давление. (Ответ. 1,69 МПа).

7. Найти полную кинетическую энергию, а также кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы аммиака NH ₃ при температуре t = 27°С. (Ответ. 1,24 10^-20 Дж; 6,2 10 ^-21 Дж).

8. Определить удельные теплоемкости c _V и c _p газообразной окиси углерода СО (Ответ. 743 Дж/кг).

9. Смесь газа состоит из кислорода (O ₂) с массовой долей ω₁ = 85 % и озона (O ₃) с массовой долей ω₂ = 15 %. Определить удельные теплоемкости c _V и c _pэтой смеси. (Ответ. 629 Дж/(кг∙К); 877 Дж/(кг∙К).

10. Газовая смесь состоит из азота массой m ₁ = 3 кг и водяно­го пара массой m ₂= I кг. Принимая эти газы за идеальные, опре­делить удельные теплоемкости c _V и c _p газовой смеси. (Ответ. 902 Дж/(кг∙K), 1,24 кДж/(кг∙К).

11. Молекула газа состоит из двух атомов; разность удель­ных теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объ­еме равна 260 Дж/(кг К). Найти молярную массу газа и его удель­ные теплоемкости. c _V и c _p (Ответ. 32 10^-3 кг/моль; 910 Дж/(кг К); 650 Дж/(кг.К).

12. Один киломоль идеального двухатомного газа совершает замк­нутый цикл, график которого изображен на рисунке. Определить: теплоту Q ₁, полученную от нагревателя; теплоту Q ₂, переданную охладителю; работу А, совершенную газом за один цикл; термический к.п.д. η цикла. (Ответ. 7,61 МДж; 7,19 МДж; 0,4 МДж; 5,3 %).

13. Водород занимает объем V = 10м³ при давлении p ₁ = 0,1 МПа. Газ нагрели при постоянном объеме до давления p ₂ = 0,3 МПа. Опреде­лить изменение Δ U внутренней энер­гии газа, работу А, совершенную га­зом и теплоту Q, сообщенную газу. (Ответ. 5 МДж; 0 МДж; 5 МДж).

14. Кислород при неизменном давле­нии р = 80 кПа нагревается. Его объ­ем увеличивается от V ₁ = I м³ до V ₂ =3 м³. Определить изменение Δ U внутренней энергии кислорода, работу А, совершенную им при расширении, а также теплоту Q, сообщенную газу. (Ответ: 400 кДж; 160 кДж; 560 кДж).

15. В цилиндре под поршнем находится азот, имеющий массу m ₁ = 0,6 кг и занимающий объем V ₁ = 1,2м³ при температуре Т ₁ = 500 К. В результате нагревания газ расширился и занял объем V ₂ = 4,2м³,причем температура осталась неизменной. Найти изменение Δ U внутренней энергии газа совершенную им работу и теплоту, сообщен­ную газу. (Ответ. 0; 126 кДж;126 кДж).

16. В бензиновом автомобильном моторе степень сжатия горючей смеси равна 6,2. Смесь засасывается в цилиндр при температуре t = 15⁰ С. Найти температуру t ₂ горючей смеси в конце такта сжатия. Горючую смесь рассматривать как двухатомный газ, процесс считать адиабатным. (Ответ. 324°С).

17. Газ совершает цикл Карно. Абсолютная температура нагре­вателя в три раза выше, чем температура охладителя. Нагреватель передал газу Q = 41,9 кДж теплоты. Какую работу совершил газ? (Ответ. 28,1 кДж).

18. В результате изохорического нагревания водорода массой т = 1 г давление р газа увеличилось в два раза. Определить изменение Δ S энтропии газа. (Ответ. 7,2 Дж/К).

19. Кислород массой т = 2 кг увеличил свой объем в п = 5 раз, один раз - изотермически, другой - адиабатически. Каково будет изменение энтропии в этих двух случаях? (Ответ. 836 Дж/К; 0).

20. Найти изменение энтропии при плавлении I кг льда, находящегося при 0°С. Удельная теплота плавления льда λ = 3,35∙10⁵ Дж/кг. (Ответ. 1230 Дж/К).

21. 640 г расплавленного свинца при температуре плавления вы­лили на лед при 0°С. Найти изменение энтропии при этом процессе. Удельная теплота плавления свинца λ = 0,226 10⁵ Дж/кг. Удельная теплоемкостьсвинца с - 126 Дж/(кг К). (Ответ. 63 Дж/К).

5.3. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2.

№	Номера задач

200. Сколько атомов содержится в ртути:

1) количеством вещества ν =0,2 моль; 2) массой m =1 г?

201. Вода при температуре t = 4⁰С занимает объем V = 1 см³.

Определить количество вещества ν и число молекул воды.

202. Сколько молекул газа содержится в баллоне емкостью V = 30 л при температуре Т = 300 К и давлении p =5 МПа?

203. Определить количество вещества ν и число N молекул кислорода массой m = 0,5 кг.

204. Найти молекулярную массу μ и массу m одной молекулы поваренной соли.

205. Определить массу m _о одной молекулы углекислого газа.

206. Определить концентрацию n молекулы кислорода, находящегося в сосуде вместимостью V = 2 л. Количество вещества ν -кислорода равно 0,2 моль.

207. Определить количество молей вещества ν и число N молекул азота массой m = 0,2 кг.

208. Определить количество вещества ν водорода, заполняющего сосуд объемом V = 3 л, если концентрация молекул в сосуде n = 2∙10^{1 8} м ^–3.

209. В баллоне вместимостью V = 3 л содержится кислород массой m =10г. Определить концентрацию n молекул газа.

210. В баллоне находится газ при температуре Т ₁ = 400 К. До какой температуры Т ₂ надо нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в 1,5 раза?

211. В баллоне содержится газ при t ₁=100⁰C. До какой температуры t ₂ нужно нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в два раза?

212. Массу m =5г азота, находящуюся в закрытом сосуде объемом V = 4л при температуре t ₁ =20⁰С, нагревают до температуры t ₂ =40⁰С. Найти давления p ₁ и p ₂ газа до и после нагревания.

213. Некоторый газ при температуре t =10⁰C и давлении p =200 кПа имеет плотность ρ =0,34 кг/ м³. Найти молярную массу μ газа.

214. Масса m =12 г газа занимает объем V₁ = 4 л при температуре t ₁ = 7⁰С. После нагревания газа при постоянном давлении, его плотность стала равной ρ₂ = 0,6 кг/ м³. До какой температуры нагрели газ?

215. В баллоне емкостью V =12 л находится m =1,5 кг азота при температуре t ₁=327⁰С. Какое давление p ₂ будет создавать азот в баллоне при температуре t ₂= 50⁰С, если 35% азота будет выпущено? Какое было начальное давление p ₁?

216. Определить плотность ρ водяного пара, находящегося под давлением p = 2,5 кПа и имеющего температуру Т =250 К.

217. Масса m = 10г кислорода находится при давлении p =304 кПа и температуре t ₁=10⁰C. После расширения вследствие нагревания, при постоянном давлении, кислород занял объем V ₂=10 л. Найти объем V ₁ газа до расширения, температуру t ₂ газа после расширения, плотности ρ₁ и ρ₂ газа до и после расширения.

218. Определить температуру газа, находящегося в закрытом баллоне, если его давление увеличилось на 0,4% относительно первоначального при нагревании на D T =1 K.

219. При нагревании некоторой массы газа на D Т =1К при постоянном давлении объем этой массы газа увеличился на 1/ 350 часть первоначального объема. Найти первоначальную температуру Т газа.

220. В баллоне емкостью V =25 л находится водород при температуре Т =290 К. После того как часть водорода израсходовали, давление в баллоне понизилось на D p =0,4 Мпа. Определить массу m израсходованного водорода.

221. В баллоне находилась масса m ₁ =10 кг газа при давлении p ₁ = 10 МПа. Какую массу Dm газа взяли из баллона, если давление стало равным p ₂=2,5 Мпа? Температуру газа считать постоянной.

222. В сосуде находится 14 г азота и 8 г водорода при температуре 10⁰С и давлении 1 МПа. Найти: 1) молярную массу смеси, 2) объем сосуда.

223. Какой объем V занимает смесь азота массой m ₁ =1 кг и гелия массой m ₂=1кг при нормальных условиях?

224. В баллоне вместимостью V =15 л находится аргон под давлением p ₁=600 кПа и температуре Т ₁ =300 К. Когда из баллона было взято некоторое количество газа, давление в баллоне понизилось до p ₂=400кПа, а температура установилась Т ₂ =260 К. Определить массу m аргона, взятого из баллона.

225. 1 кг сухого воздуха содержит m ₁ =232 г кислорода и m ₂ =768 г азота (массой других газов пренебрегаем). Определить относительную молекулярную массу воздуха.

226. Газовая смесь, состоящая из кислорода и азота, находится в баллоне под давлением p =1 МПа. Считая, что масса кислорода составляет 20% от массы смеси, определить парциальные давления р ₁ и р ₂ отдельных газов.

227. Найти молярную массу смеси, состоящей из 64 г кислорода и 28 г азота.

228. Сосуд емкостью V =0,01 м³ содержит азот массой m ₁ =7 г и водород массой m ₂ =1 г при температуре Т =280 К. Определить давление р смеси газов.

229. Найти плотность ρ газовой смеси, состоящей по массе из одной части водорода и восьми частей кислорода при давлении р =100 кПа и температуре Т =300 К.

230. Определить среднюю кинетическую энергию < ε> одной молекулы водяного пара при температуре Т =500 К.

231. Водород находится при температуре Т =300 К. Найти среднюю кинетическую энергию < ε_вр> вращательного движения одной молекулы, а также суммарную кинетическую энергию Е _к всех молекул этого газа; количество водорода ν =0,5 моль.

232. Определить внутреннюю энергию U водорода, а также среднюю кинетическую энергию < ε> молекулы этого газа при температуре Т = 300 К, если количество вещества этого газа равно 0,5 моль.

233. Количество вещества гелия ν =1,5 моль, температура Т =120 К. Определить суммарную кинетическую энергию Е _к поступательного движения всех молекул этого газа.

234. Определить среднюю квадратичную скорость <υ_кв> молекулы газа, заключенного в сосуд вместимостью V =2 л под давлением P =200 кПа, масса газа m =0,3 г.

235. Внутренняя энергия U _m одного моля некоторого идеального двухатомного газа равна 6,02 кДж/ моль. Определить среднюю кинетическую энергию < ε_вр> вращательного движения одной молекулы этого газа.

236. Определить суммарную кинетическую энергию Е _к поступательного движения всех молекул газа, находящихся в сосуде вместимостью V = 3 л под давлением Р =540 кПа.

237. Найти среднюю кинетическую энергию < ε_вр > вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре Т =286 К, а также кинетическую энергию Е _к вращательного движения всех молекул этого газа, если его масса m = 4 г.

238. Баллон содержит водород массой m =10 г при температуре Т = 280 К. Определить кинетическую энергию < ε_п > поступательного движения и полную кинетическую энергию всех молекул.

239. Определить среднюю кинетическую энергию < ε_п > поступательного движения и среднее значение < ε > полной кинетической энергии молекулы водяного пара при температуре Т = 600 К. Найти также кинетическую энергию Е _к поступательного движения всех молекул пара, содержащего количество вещества ν = 1 кмоль.

240. Вычислить теплоемкость (при постоянном объеме) газа, заключенного в сосуд емкостью V = 20 л при нормальных условиях. Газ одноатомный.

241. Чему равны удельные теплоемкости с_р и с_v некоторого двухатомного газа, если плотность этого газа при нормальных условиях равна 1,43 кг/ м ³?

242. Найти удельные теплоемкости с _р и с _v некоторого газа, если известно, что молярная масса этого газа равна μ = 0,03 кг/ моль, и отношение с_р / с _v =1,4.

243. В сосуде вместимостью V = 6 л находится при нормальных условиях двухатомный газ. Определить теплоемкость С _v этого газа при постоянном объеме.

244. Определить молярную массу газа, если разность его удельных теплоемкостей с _р – с _v =2,08 кДж / (кг∙К.)

245. Определить молярные теплоемкости газа, если его удельные теплоемкости с _V =10,4 кДж / (кг∙К) и с _р =14,6 кДж / (кг∙К).

246. Определить молярную массу М двухатомного газа и его удельные теплоемкости, если известно, что разность с _р- с _V удельных теплоемкостей этого газа равна 260 Дж / (кг∙К).

247. Вычислить удельные теплоемкости газа, зная, что его молярная масса μ = 4∙10 ^–3 кг/ моль и отношение теплоемкостей С _Р / С _V =1,67.

248. Трехатомный газ под давлением Р =240 кПа и температуре t = 20⁰С занимает объем V =10 л. Определить теплоемкость С _Р этого газа при постоянном давлении.

249. Одноатомный газ при нормальных условиях занимает объем V = 5 л. Вычислить теплоемкость С _V этого газа при постоянном объеме.

250. Два киломоля углекислого газа нагреваются при постоянном давлении на 50⁰. Найти: 1) изменение его внутренней энергии, 2) работу расширения, 3) количество теплоты, сообщенной газу.

251. Кислород массой 200 г занимает объем V ₁ =100 л и находится под давлением Р ₁ =200 кПа. При нагревании газ расширяется при постоянном давлении до объема V ₂ =300 л, а затем его давление возросло до Р ₃ =500 кПА при неизменном объеме. Найти изменение внутренней энергии D U газа, совершенную работу А и теплоту Q, переданную газу. Построить график процесса.

252. Азот массой m =0,1 кг был изобарно нагрет от температуры Т₁ =200К до температуры Т ₂ =400 К. Определить работу А, совершенную газом, и теплоту Q, полученную им, а также изменение D U внутренней энергии азота.

253. Определить работу А, которую совершит азот, если ему при постоянном давлении сообщить количество теплоты Q = 21 кДж. Найти также изменение D U внутренней энергии газа.