П.2.2. Описание методики решения задачи

Cоставленные уравнения равновесия (П.2.1) можно использовать для получения искомых матриц жесткости соответствующих симметричных упругих связей в базовой системы координат .

С целью проведения объективного сравнительного анализа жесткостных характеристик симметричных упругих связей полагаем, что в матрице жесткости , описывающей упругую связь между узлами и , содержатся все элементы:

. (П.2.2)

Матрицу жесткости второй упругой связи из симметричной пары межузловых связей определим, используя то, что матрицы жесткости и , описывающие жесткостные характеристики симметричной пары межузловых связей, будут равны между собой, если локальные базовые системы координат и , в которых они определены, обладают такой же симметрией, что и симметричная пара межузловых связей (рис.П.2.1):

. (П.2.3)

При этом отметим, что для проведения объективной сравнительной оценки свойств симметричной пары межузловых связей их матрицы жесткости ( и ) должны быть определены в глобальной базовой системе координат . Для этого необходимо матрицы жесткости и перевести из локальных координатных систем и в единую глобальную систему координат по следующим формулам:

; . (П.2.4)

Здесь () - матрица преобразования координат, позволяющая осуществлять переход из локальной базовой системы координат в глобальную базовую координатную систему ,

, (П.2.5)

- матрица направляющих косинусов, характеризующая угловое положение осей локальной координатной системы относительно глобальной системы координат ,

;

- кососимметричная матрица, характеризующая положение начала координат локальной координатной системы относительно глобальной системы координат ,

;

- нулевая матрица третьего порядка;

- отрицательный знак в формуле (П.2.5) ставится перед матрицей в случае, если локальная координатная система , в отличие от глобальной системы координат , представляет собой левую координатную систему.

В свою очередь, свойства симметричной одиночной межузловой связи отражает структура ее матрицы жесткости . При этом заметим, что данную симметричную одиночную межузловую упругую связь всегда можно представить в виде подходящего к данному случаю соединения соответствующей симметричной пары межузловых упругих связей. Поэтому структура матрицы будет аналогична структуре матрицы , описывающей жесткостные характеристики упругой связи, которая является эквивалентной соответствующему соединению симметричной пары межузловых упругих связей.

Будем рассматривать следующие виды симметрии относительно глобальной системы координат :

- симметрия относительно координатных осей (оси , , );

- симметрия относительно координатных плоскостей (плоскости , , );

- симметрия относительно начала координат (точка );

- одновременное существование в конструкции нескольких видов симметрии.

При этом заметим, что равенство нулю отдельных элементов в матрицах жесткости обозначает отсутствие перекрестных связей между соответствующими компонентами обобщенных перемещений.