Согласованная фильтрация дискретных сигналов известной формы

Решение проблемы повышения помехозащищённости систем связи и управления достигается использованием различных методов и средств, в том числе и сигналов сложной формы (с большой базой).

Широкое практическое применение получили сложные сигналы на основе дискретных кодовых последовательностей, которые представляют собой последовательности символов d_i длительностью t_э, принимающих одно из двух значений +1 или –1. Такие сигналы легко формируются и обрабатываются с использованием элементов цифровой и вычислительной техники.

Сложные сигналы должны удовлетворять ряду требований для достижения наибольшей достоверности их приёма:

а) корреляционная функция должна содержать значительный максимум (пик);

б) взаимная корреляционная функция (ВКФ)

(П12.1)

любой пары сигналов из используемого ансамбля, определяющая степень их ортогональности, должна быть близка (стремиться) к нулю при любом t. Однако на практике для реальных сигналов последнее условие не может быть выполнено принципиально. Поэтому важно обеспечить возможно большее отношение максимума r_ii (t) к максимуму r_ij (t) используемых сигналов, оно и будет определять помехозащищённость приёма сигналов.

Отличительная особенность ВКФ в том, что она не является чётной функцией аргумента t, т.е. K_uv (t) ¹ K_uv (- t), а максимальный выброс достигается не обязательно при t =0.

Известно, что сигнал на выходе согласованного фильтра в произвольный момент времени характеризуется интегралом свёртки (интегралом Дюамеля) вида

,

где g (t) – импульсная характеристика фильтра.

Выходной сигнал СФ совпадает по форме с функцией корреляции входного сигнала, но последняя сдвинута вправо на величину t ₀, т.е.

y (t) = a×K_ss× (t - t ₀) (П12.2)

где a – множитель пропорциональности;

t ₀ – сдвиг в сторону запаздывания.

На практике величину t ₀ выбирают равной длительности сигнала, т.е. t ₀= T.

Для корреляционной функции дискретного сигнала общего вида применима формула

, (П12.3)

здесь n указывает количество элементов, на которое осуществляется сдвиг
(n – целое число, положительное, отрицательное или нуль), так как важнейшей операцией при корреляционной обработке дискретных сигналов с использованием согласованного фильтра является поэлементный сдвиг такого сигнала.

Взаимная корреляционная функция двух дискретных сигналов определяется по аналогии с корреляционной функцией одиночного сигнала формулой

. (П12.4)

Влияние помехи в линии связи на передаваемый сигнал будет проявляться в изменении знака (полярности) элемента дискретного сигнала, т. е. в переходах вида 1 ® -1 и -1 ® 1. Это будет приводить к изменению (деформации) корреляционной функции – уменьшению основного пик-выброса, увеличению боковых выбросов и, следовательно, к снижению помехоустойчивости приёма. Поэтому целесообразно выбрать оптимальное значение порога решающей схемы приёмника, минимизирующее среднюю вероятность ошибки. При равновероятной передаче сообщений оптимальный порог должен выбираться как среднее значение между уровнем основного лепестка и максимальным уровнем выброса ВКФ.

Согласованный фильтр для дискретных последовательностей практически может быть реализован в виде линии задержки с отводами (с общим временем задержки, равным длительности сигнала Т), фазовращателей (инверторов) в отводах и суммирующей схемы, на выходе которой возникает импульс, равный сумме амплитуд всех элементов сигнала.

Примечание: нетрудно видеть, что сигнал на выходе сумматора будет иметь вид ступенчатой функции. После сумматора должен быть установлен интегратор для “сглаживания” формы сигнала (например, простейшая RC-цепочка).

Способ вычисления функции корреляции для заданных дискретных сигналов наглядно продемонстрирован в [5] (стр. 84…86, 89…90). Проиллюстрируем нахождение корреляционной функции на примере ВКФ двух заданных сигналов из 5 элементов:

u (n)={1, 1, 1, –1, –1}, v (n) = {1, –1, 1, –1, 1}.

Если n > 0, то сигнал v (n) запаздывает относительно u, т.е. сдвигается вправо; при n < 0 сигнал v (n) сдвигается в сторону опережения (влево). С учётом поэлементного сдвига семейство последовательностей v (n) будет иметь вид

u (n)..0 0 0 0 0 1 1 1 -1 -1 0 0 0 0 0...

n = 0 v (n)..0 0 0 0 0 1 -1 1 -1 1 0 0 0 0 0...

n = 1.... 0 0 0 0 0 1 -1 1 -1 1 0 0 0 0

n = 2.... 0 0 0 0 0 1 -1 1 -1 1 0 0 0

n = 3.... 0 0 0 0 0 1 -1 1- 1 1 0 0

n = 4... 0 0 0 0 0 1 -1 1 -1 1 0

n = 5... 0 0 0 0 0 1 -1 1 -1 1 0

По формуле (12.4) получаем

K_uv (0) = 1, K_uv (1) = 0, K_uv (2) = 1, K_uv (3) =0, K_uv (4) = -1, K_uv (5) = 0.

Аналогично составляем последовательность значений и для n < 0, т.е. находим K_uv (- n). Получим

K_uv (-1) = -2, K_uv (-2) = 1, K_uv (-3) = 0, K_uv (-4) = 1, K_uv (-5) = 0.

-1

-2

-3

-4

-5

n

График рассчитанной ВКФ для рассмотренных сигналов, приведён
на рисунке П12.5.

Рисунок П12.5 – Вид функции взаимной корреляции двух сигналов

Согласованный фильтр обеспечивает при флуктуационной помехе в канале связи типа “белого шума“ на своём выходе в момент окончания сигнала
t ₀ = Т максимально возможное отношение пиковой мощности сигнала к средней мощности помехи. Выигрыш в отношении сигнал/шум на выходе СФ по сравнению со входом численно равен базе сигнала (В = 2 ·F _с ·Т _с), т. е.

, (П12.5)

где Т _с = N×t_э – длительность сигнала;

– ширина спектра сигнала.

Таким образом, выигрыш q = (h_вых)²/(h_вх)², обеспечиваемый СФ при приёме дискретных последовательностей, составляет N раз (N – количество элементов в кодовой последовательности). Следовательно, путём увеличения длины двоичных дискретных последовательностей, отображающих символы сообщений ²1² и ²0², можно обеспечить значительное повышение отношения сигнал/шум на выходе решающей схемы приёмника и, соответственно, повышение помехоустойчивости (достоверности) передачи дискретных сообщений. Очевидно, что это приводит к снижению скорости передачи дискретных сообщений, т.е. имеет место обмен их скорости передачи на достоверность приема.