Теоретические сведения. Метод Рунге –Кутта по форме представления решения относится к численным методам, позволяющим отобразить приближенное решение в виде таблицы (в узлах сетки)

Метод Рунге – Кутта по форме представления решения относится к численным методам, позволяющим отобразить приближенное решение в виде таблицы (в узлах сетки). Интегральная кривая (решение задачи Коши) на графике представляет собой ломаную, состоящую из отрезков, соединяющих значения найденной функции y(x) в узлах сетки. Данный метод относится к явным одношаговым методам.

Метод Эйлера относится к семейству методов Рунге – Кутта и имеет первый порядок относительно шага сетки. Рекуррентная формула метода Эйлера для дифференциального уравнения 1-го порядка y¢ = f(x) с начальными условиями y₀ = y(x₀) имеет вид:

y_n+1(x) = y_n+Dy_n, (n =0, 1, 2, …), (23)

где Dy_n = hf(x_n,y_n), h – шаг сетки.

Локальная погрешность метода Эйлера (на одном шаге) есть величина порядка .

В вычислительной практике наиболее часто используется метод Рунге – Кутта четвертого порядка. Приведем без вывода расчетные формулы для данного метода на -м шаге при неравномерной сетке:

y _i+1(x) = y_i+Dy_i, (n =0, 1, 2, …), (24)

где

[ ],

,

,

,

.

Локальная погрешность метода Рунге – Кутта (на одном шаге) есть величина порядка h ⁵.

ОПР. Глобальной ошибкой называется величина

,

где h – шаг сетки,

– точное решение задачи Коши в узле x_n.

Дифференциальное уравнение для лабораторной работы выбирается согласно таблице 5.

Таблица 5 – Варианты лабораторной работы № 2.2