Теоретические сведения. Итерационная формула метода Пикара при n=1, 2, имеет вид:

Итерационная формула метода Пикара при n =1, 2, … имеет вид:

. (21)

Оценка погрешности k -го приближения задаётся формулой:

, (22)

где

M = max|f¢_y(x,y)| – константа Липшица,

N – верхняя грань модуля функции f: | f(x,y) |£ N,

величина d для определения окрестности | x-x₀ |£ d, вычисляемая по формуле: d = min(a, ).

ПРИМЕР. Методом последовательных приближений найти приближенное решение дифференциального уравнения

y¢ = x³-2y, удовлетворяющее начальному условию y(0)=1.

Запишем для нашего уравнения итерационную формулу вида (21):

.

Выберем за начальное приближение y₀ = y(0) =1. Имеем:

.

Продолжая итерационный процесс, далее получаем:

;

и т. д.

Оценим погрешность третьего приближения. Для этого определим область G, в которой функция f(x,y) определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица. Зададим область G в виде неравенств:

| x-x₀ | £ а, | y-y₀ | £ b.

Зададим, для примера, а = 1 и b = 3. В прямоугольнике | x-0 |£1,

| y-1 |£3 функция f(x,y)=x³-2y определена и непрерывна, причем:

M = max|f¢_y(x,y)|= 2, N = max|f(x,y)| = 9.

Из формулы d = min(a, ) определяем d = . По формуле (22) оценка погрешности третьего приближения равна:

Исходные данные для лабораторной работы выбираются из таблицы 4.

Таблица 4 – Варианты лабораторной работы № 2.1