Вычисление собственных чисел и собственных векторов матриц методом Якоби

Цель работы: используя метод вращения Якоби, найти все собственные значения матрицы A и соответствующие им собственные вектора с точностью до e= 10 ^-3.

Рекомендация к выполнению задания

Программирование метода производится в среде разработки на выбор студента (Delphi, Borland C++, Turbo Pascal и т.д.).

Входные параметры программы:

n ´ n – размер исходной матрицы A;

проверка условия симметричности матрицы;

e – погрешность.

Примечание – в качестве входного параметра ввести возможность выбора остановки итерационного процесса.

Выходные параметры программы:

t – число итераций;

{ l₁, X₁ } – первая собственная пара,

........

{ l_n, X_n } – n -ая собственная пара.

Отчет по самостоятельной работе должен содержать:

постановку задачи;

исходную матрицу согласно своему варианту (таблица 1);

блок-схему реализации вычисления собственных значений и соответствующих собственных векторов на ЭВМ;

программу решения задачи.

Алгоритм метода Якоби

(одна итерация)

Шаг 1.

Определятся а_ij – ключевой элемент преобразуемой матрицы А.

Вычисляется p = 2 а_ij, q = а_ii - а_jj, .

Шаг 2.

Если , тогда

– проводится нормировка,

– вычисляется косинус угла поворота (cosa),

– вычисляется синус угла поворота (sina).

Замечание: если |p|<<|q|, то лучше использовать s = | p | sign (pq).

Если q = 0, тогда c = s = – угол поворота a = 45°.

Шаг 3.

Вычисляются новые диагональные элементы матрицы :

b_ii = c ² a_ii+ 2 csa_ij+s ² a_jj,

b_jj = s ² a_ii- 2 csa_ij+c ² a_jj,

Т. к. b_ij = b_ji=0, то для контроля вычисляются

b_ij = b_ji=(c²-s²)a_ji – cs(a_ii - a_jj).

Вычисляются изменяющиеся недиагональные элементы матрицы:

при m = 1, 2, …, n, m ¹ i, m ¹ j

b_im = b_mi=ca_mi + sa_mj

b_jm = b_mj=ca_mj - sa_mi.

Для всех остальных индексов m, l

b_ml = a_ml.