Тема №3. 2. Основные теоремы теории вероятностей

Цель изучения:

усвоить учебные элементы на уровне знаний и умения применять их для решения простейших задач. Воспитание навыков самостоятельной учебной деятельности.

Учебные вопросы:

1. Теорема умножения вероятностей независимых событий.

2. Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей зависимых событий.

3. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

4. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

5. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Краткие сведения из теории

I. Теорема 1. (Теорема умножения вероятностей независимых событий) Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

.

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы.

Несколько событий называют независимыми в совокупности ( или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

.

Задача 3.27. В урне находятся 10 шаров, среди которых 3 белые, а остальные – черные. Из урны вынимают один шар, кладут обратно в урну, перемешивают шары и опять достают один шар. Какова вероятность того, что: а) первым был белый, а вторым – черный шар; б) оба шара были белыми?

Решение. а) Обозначим события – вынут первым белый шар, –

вынут вторым черный шар. Так как события и независимы, то вероятности появления этих событий соответственно равны (по формуле ): ; . События появляются одновременно, поэтому искомую вероятность вычисляем по формуле :

.

б) Обозначим события – вынут первым белый шар, – вынут вторым белый шар. Так как события и независимы, то вероятности появления этих событий равны (по формуле ): . По формуле вычисляем искомую вероятность:

.

Ответ. а) 0,21; б) 0,09.

Задача 3.28. В первом ящике находятся 3 белых и 5 черных шаров; во втором – 1 белый и 4 черных шара; в третьем – 7 белых и 2 черных шара. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность, что все шары белые?

Решение. Обозначим события – вынут белый шар из первого ящика, – вынут белый шар из второго ящика, – вынут белый шар из третьего ящика. События , и независимы в совокупности, вероятности их появления равны: , , . Искомая вероятность вычисляется по формуле :

.

Ответ. 0,058.

II. Для характеристики зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.

Условной вероятностью события при условии, что произошло событие , называется отношение вероятности произведения этих событий к вероятности события , причем , обозначается символом . Тогда

, .

Теорема 2. (Теорема умножения вероятностей зависимых событий) Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:

.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных, причем эти условные вероятности вычисляются в предположении, что все предыдущие события уже произошли:

.

Задача 3.29. В урне находятся 10 шаров, среди которых 3 белые, а остальные – черные. Из урны вынимают один шар, затем достают еще один шар, не возвращая первый в урну. Какова вероятность того, что: а) первым был белый, а вторым – черный шар; б) оба шара были белыми?

Решение. а) Обозначим события – вынут первым белый шар, –

вынут вторым черный шар. Появление события зависит от того, каким был первый шар, т.е. и являются зависимыми событиями. Вероятности появления событий и соответственно равны (по формуле ): , . События появляются одновременно, поэтому искомую вероятность вычисляем по формуле :

.

б) Обозначим события – вынут первым белый шар, – вынут вторым белый шар. Так как события и зависимы, то вероятности появления этих событий равны соответственно (по формуле ): , . По формуле вычисляем искомую вероятность:

.

Ответ. а) 0,2334; б) 0,0666.

III. Теорема 3. (Теорема сложения вероятностей несовместных событий) Вероятность появления хотя бы одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

События и называются несовместными, если .

Следствие.1. Вероятность появления хотя бы одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

Следствие.2. Если события , , , …, образуют полную группу несовместных событий, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий, как вероятность полной группы событий, равна единице:

.

Следствие.3. Вероятность появления одного из событий, образующих полную группу несовместных событий, равна разности между единицей и суммой вероятностей всех остальных событий:

.

Задача 3.30. В урне 5 белых, 12 черных, 7 красных и 6 синих шаров. Вынимают один шар. Какова вероятность того, что этот шар – цветной?

Решение. Появление цветного шара означает появление либо черного, либо красного, либо синего шара. Обозначим события – вынут черный шар, – вынут красный шар, – вынут синий шар. События , и являются несовместными, т.е. они не могут произойти одновременно. Найдем вероятности каждого из этих событий: , , . Теперь по формуле находим искомую вероятность:

.

Ответ. .

Задача 3.31. Два орудия стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность поражения цели первым орудием равна 0,85, а вторым – 0,9. Какова вероятность того, что цель будет поражена только одним орудием?

Решение. Обозначим события – цель поражена только одним орудием, – цель поражена первым орудием, – цель поражена вторым орудием. Событие равно сумме двух несовместных событий: – цель поражена только первым орудием и вторым не поражена, и – цель поражена только вторым орудием и не поражена первым, т.е. по правилу умножения событий , , где и – события, противоположные событиям и соответственно. Найдем вероятности всех событий. Так как события и независимы и несовместны, то события и также независимы и несовместны. Тогда , , и по формуле , . Теперь по формуле находим вероятности событий и : , . Для нахождения искомой вероятности воспользуемся формулой :

.

Ответ. 0,22.

IV. Теорема 4. (Теорема сложения вероятностей совместных событий) Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.

Следствие.1. Теорема сложения вероятностей двух совместных независимых событий имеет вид:

.

Следствие.2. Теорема сложения вероятностей двух совместных зависимых событий имеет вид:

.

Следствие.3. Теорема сложения вероятностей трех совместных событий имеет вид:

.

Следствие.4. Вероятность появления хотя бы одного из событий , , , …, , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий , , , …, :

.

Задача 3.32. Два орудия стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность поражения цели первым орудием равна 0,85, а вторым – 0,9. Какова вероятность того, что цель будет поражена хотя бы одним орудием?

Решение. Обозначим события – цель поражена хотя бы одним орудием, – цель поражена первым орудием, – цель поражена вторым орудием.

1 способ. Событие равно сумме трех несовместных событий: – цель поражена только первым орудием и вторым не поражена, – цель поражена только вторым орудием и не поражена первым, и – т.е. по правилу умножения событий , , где и – события, противоположные событиям и соответственно. Найдем вероятности всех событий. Так как события и независимы и несовместны, то события и также независимы и несовместны. Тогда , , и по формуле , . Теперь по формуле находим вероятности событий , и :

,

,

.

Для нахождения искомой вероятности воспользуемся формулой :

.

2 способ. Воспользуемся теоремой сложения для двух совместных независимых событий, т.е. формулой :

.

3 способ. Воспользуемся формулой . Действительно, событие, противоположное событию () означает, что цель не поражена ни первым, ни вторым орудием, т.е. . Вероятность события равна: . Тогда:

.

Ответ. 0,985.

Задача 3.33. Найти надежность работы электрической цепи.

Каким образом можно увеличить надежность работы цепи, если саму схему менять нельзя, можно только менять местами элементы?

Решение. Обозначим событие – надежно работает вся система. Тогда

- надежно работает -ый элемент, где . Даны вероятности каждого элемента: , , и . События являются независимыми, а события и совместными. Поэтому, для нахождения искомой вероятности воспользуемся формулами и :

.

Теперь попробуем увеличить надежность системы. Этого можно добиться, если мало надежные элементы поставить в параллельное соединение, а более надежные в последовательное. Покажем это на схеме.

Найдем надежность работы полученной схемы:

.

Ответ. 0,0704; 0,2184.

V. Формула полной вероятности является одним из следствий совместного применения теорем сложения и умножения.

Теорема 5. (Формула полной вероятности) Пусть события , , …, образуют полную группу. Тогда для любого, наблюдаемого в опыте, события имеет место следующая формула:

.

Здесь нужно понимать, что событие может наступить только совместно с одним из событий , , …, , которые образуют полную группу, причем условные вероятности событий , известны.

Теорема 6. (Формула Байеса или теорема гипотез) Пусть события , , …, образуют полную группу. Тогда условная вероятность события () при условии, что событие произошло, находится по формуле:

,

где – формула полной вероятности .

Задача 3.34. Сборщик получил 3 коробки деталей, изготовленных заводом №1, 2 коробки деталей, изготовленных заводом №2 и 5 коробок деталей, изготовленных на заводе №3. На заводе №1 производят 95% стандартных деталей, на заводе №2 – 70% стандартных деталей, а на заводе №3 – 82%. Из наудачу взятого ящика сборщик взял деталь. а) Какова вероятность того, что эта извлеченная деталь является стандартной? б) Извлечена стандартная деталь. Какова вероятность того, что она изготовлена заводом №2?

Решение. Обозначим события – извлечена стандартная деталь, – деталь изготовлена на заводе №1, – деталь изготовлена на заводе №2, – деталь изготовлена на заводе №3. Найдем вероятности гипотез , , :

, , .

События , и образуют полную группу, поэтому для контроля (проверки правильности нахождения вероятности гипотез) найдем вероятность суммы всех гипотез. Воспользуемся формулой :

.

Таким образом, вероятности гипотез найдены верно. Условная вероятность того, что деталь, изготовленная заводом №1, является стандартной, по условию задачи, равна . Аналогично находим вероятности остальных условных вероятностей: , .

а) По формуле находим вероятность появления стандартной детали из наудачу взятого ящика:

.

б) По формуле находим вероятность того, что извлеченная стандартная деталь изготовлена на заводе №2:

.

Ответ. а) 0,835; б) 0,168.

Задание для самостоятельной работы

Задача 3.35. Бросается игральная кость. Пусть событие – появление четного числа очков, а событие – появление более трех очков. Зависимы или нет события и .

Задача 3.36. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0,1; вероятность выбить 9 очков равна 0, 3; вероятность выбить 8 очков или меньше очков равна 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков.

Задача 3.37. В ящике 15 шариков, среди которых 7 белых и остальные – черные. Из ящика вынимают сразу два шарика. Какова вероятность того, что они одного цвета?

Задача 3.38. В студии телевидения 3 телевизионных камеры. Вероятность тог, что в данный момент камера включена, равна соответственно 0,7; 0,75 и 0,6. Найти вероятности следующих событий: а) включена только одна камера; б) включены две камеры; в) включены все три камеры; г) все камеры выключены; д) включена хотя бы одна камера; е) включены менее одной камеры; ж) включены не менее одной камеры; з) включены не менее двух камер; и) включены более двух камер.

Задача 3.39. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет в десятку, равна 0,6. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,8 он попал в десятку хотя бы один раз?

Задача 3.40. Известно, что 92% изделий, выпускаемых данным предприятием, отвечают стандарту. Упрощенная схема проверки качества продукции признает пригодной стандартную деталь с вероятностью 0,97 и нестандартную с вероятностью 0,07. Определить вероятность того, что: а) взятое наудачу изделие пройдет контроль; б) изделие, прошедшее контроль качества, отвечает стандарту.

Задача 3.41. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выбрали из первой группы студентов курса 4 человека, из второй – 7 человек и из третьей – 5 человек. Вероятность того, что студент первой, второй и третьей группы попадет в сборную университета, соответственно равны 0,9; 0,83 и 0,75. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент?