Тема №3. 1. Основные понятия теории вероятнолстей

Цель изучения:

усвоить учебные элементы на уровне знаний и умения применять их для решения простейших задач. Воспитание навыков самостоятельной учебной деятельности.

Учебные вопросы:

1. Виды случайных событий.

2. Операции, определяемые над событиями.

3. Основные формулы комбинаторики.

4. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.

5. Статистическое определение вероятности.

Краткие сведения из теории

I. Основными (неопределяемыми) понятиями в теории вероятностей является понятие опыта и понятие события.

События, как правило, обозначаются заглавными буквами латинского алфавита – , , , …, , … и т.д.

События бывают:

1) достоверные;

2) случайные;

3) невозможные.

Теория вероятностей занимается изучением случайных событий.

Случайные события бывают:

1) единственно возможные;

2) зависимые и независимые;

3) совместные и несовместные;

4) равновозможные.

Несколько событий образуют полную группу (обозначается буквой ), если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

II. Над событиями можно проводить все операции, выполняемые для множеств, т.е. можно найти:

1) Сумму событий (аналог объединения множеств ). Сумму двух событий находим, если мы в русском языке между событиями ставим союз «или» (или , или ).

2) Произведение событий (аналог пересечения множеств ). Произведение двух событий находим, если мы в русском языке между событиями ставим союз «и» (и , и ).

3) Разность событий (аналог разности множеств ). Разность двух событий находим, если мы в русском языке между событиями ставим предлог «без» ( без ).

4) Противоположное событие событию , которое обозначается , и читается как «не ». Событие означает, что не наступило ().

III. Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного множества элементов и расположения их в группы по заданным правилам. Каждый раз требуется подсчитать число возможных вариантов осуществления некоторого действия, ответив на вопрос «сколькими способами?».

Размещения без возвращения (без повторения) вычисляются по формуле:

,

где , , .

Размещения без повторения отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Задача 3.1. Даны три числа: 5, 7, 8. Сколько двузначных чисел можно составить из данных трех, если цифры не повторяются?

Решение. Из трех данных чисел можно составить следующие двузначные числа: 57, 75, 78, 87, 58, 85, т.е. всего 6 чисел. Этот результат можно получить, если воспользоваться формулой :

.

Ответ. 6 чисел.

Размещения с возвращениями:

.

Размещения с повторениями могут отличаться друг от друга элементами, их порядком и количеством повторений элементов.

Задача 3.2. Даны три числа: 5, 7, 8. Сколько двузначных чисел можно составить из данных трех, если цифры могут повторяться?

Решение. Из трех данных чисел можно составить следующие двузначные числа: 55, 77, 88, 57, 75, 78, 87, 58, 85, т.е. всего 9 чисел. Этот результат получим по формуле :

.

Ответ. 9 чисел.

Перестановки без возвращения определяются формулой:

,

Перестановки без повторения отличаются друг от друга только порядком следования элементов.

Задача 3.3. На карточках написаны три буквы , , . Карточки перемешивают, берут по одной и раскладывают в ряд в порядке появления. Сколько различных комбинаций «слов» может быть?

Решение. Запишем все «слова», которые могут быть составлены из этих трех букв: , , , , , . Получилось 6 «слов». Теперь воспользуемся формулой :

.

Ответ. 6 слов.

Перестановки с возвращениями:

.

Формула применяется вместо формулы тогда, когда среди элементов имеются равные (одинаковые), т.е. формула является более общей, чем формула .

Задача 3.4. На карточках написаны семь букв , , , , , , . Карточки перемешивают, берут по одной и раскладывают в ряд в порядке появления. Сколько различных «слов» может быть составлено?

Решение. Для решения воспользуемся формулой . Всего букв 7, поэтому , буква повторяется 2 раза и буква также повторяется 2 раза. Обозначим – количество букв и – количество букв . Подставим данные в формулу и найдем ответ:

.

Ответ. 1260 «слов».

Сочетания без возвращения находятся по формуле:

,

Сочетания без повторения отличаются друг от друга только составом элементов.

Задача 3.5. В группе 3 девушки и 5 юношей. а) На конференцию необходимо послать три человека. Сколькими способами это можно сделать? б) Сколькими способами можно выбрать трех человек так, чтобы пошла одна девушка и двое юношей?

Решение. В группе всего 8 (3+5) человек, поэтому .

а) Так как порядок выбора не имеет значения, то число способов выбора трех человек из группы в 8 человек можно найти по формуле :

.

б) Также воспользуемся формулой . Выбрать одну девушку из трех можно

способами, а двух юношей из пяти способами. Тогда одну девушку и двух юношей можно выбрать (по правилу умножения событий) способами.

Ответ. а) 56 способов; б) 30 способами.

Сочетания с возвращениями (с повторениями) вычисляются по формуле:

.

Сочетания с повторениями применяются тогда, когда элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания.

Задача 3.6. Сколькими способами можно составить букет из 3-х цветов, если в магазине имеются цветы 2-х сортов?

Решение. Так как всего два сорта, из которых идет выбор, то , выбирают три цветка, поэтому . Поскольку порядок расположения цветов в букете не играет роли, то для ответа на поставленный вопрос воспользуемся формулой :

.

Ответ. 4 различных букета.

IV. (Классическое определение вероятности). Вероятность события определяется по формуле

,

где – общее число всех равновозможных несовместных элементарных исходов; – число исходов благоприятствующих событию .

Свойства вероятности:

1. Вероятность достоверного события равна единице.

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

.

При непосредственном вычислении вероятностей используют формулы комбинаторики и операции, определяемые над событиями, которые были рассмотрены выше.

Задача 3.7. В ящике имеются 8 деталей, из которых 3 окрашены. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной.

Решение. Обозначим событие – извлеченная деталь окрашена. Тогда – число всех равновозможных исходов. Число исходов, благоприятствующих событию , равно 3, т.е. . Тогда по формуле находим искомую вероятность:

.

Ответ. 0,375.

Задача 3.8. В группе 3 девушки и 5 юношей. На конференцию необходимо послать три человека. Какова вероятность того, что пойдут одна девушка и двое юношей?

Решение. Обозначим событие – на конференцию идут три человека, среди которых одна девушка и двое юношей.

В задаче 3.5 было найдено число способов выбора трех человек из группы в 8 человек: . Тогда – число всех равновозможных исходов. В задаче 3.5 было найдено также число выбора одной девушки из трех и двух юношей из пяти: . Число исходов, благоприятствующих событию , равно 30, т.е. . Тогда по формуле находим искомую вероятность:

.

Ответ. 0,536.

V. (Статистическое определение вероятности). Относительная частота события определяется по формуле

,

где – общее число всех испытаний (опытов), проведенных в одинаковых условиях; – число испытаний (опытов), в которых интересующее нас событие наступило.

Задача 3.9. В магазин поступила партия из 100 телевизоров. При продаже 3 телевизора оказались бракованными. Чему равна относительная частота появления бракованных телевизоров?

Решение. Обозначим событие – телевизор бракованный. Тогда – число всех телевизоров. Число бракованных телевизоров равно 3, т.е. . Тогда по формуле находим относительную частоту появления брака:

.

Ответ. 0,03.

Задача 3.10. В среднем на завод по разливу молока поступает 0,1% разбитых бутылок. Найти предполагаемое число разбитых бутылок, если поступила партия из 12000 бутылок.

Решение. Обозначим событие – бутылка разбита. Тогда – число всех поступивших бутылок. Относительная частота разбитых бутылок составляет . Тогда, используя формулу , находим число разбитых бутылок:

, .

Ответ. 12 разбитых бутылок.

Задание для самостоятельной работы

Задача 3.11. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если: а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторяться?

Задача 3.12. В группе 10 юношей и 7 девушек. Сколькими способами можно выбрать двух человек одного пола?

Задача 3.13. Сколько различных «слов», состоящих из трех букв, можно образовать из букв слова ?

Задача 3.14. Сколькими способами 3 награды могут быть распределены между 9 участниками соревнований?

Задача 3.15. Сколькими способами можно расставить 7 различных книг на одной полке, чтобы 4 определенные книги стояли рядом?

Задача 3.16. В урне 15 белых и 10 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 8 шаров, чтобы среди них были: а) все белые; б) все черные; в) 5 белых и 3 черных?

Задача 3.17. Сколькими способами можно распределить 6 различных подарков между четырьмя ребятишками?

Задача 3.18. Сколькими способами можно составить набор из 6 пирожков, если имеются пирожки 4-х сортов?

Задача 3.19. Сколько «слов» можно получить, переставляя буквы в слове: а) ; б) .

Задача 3.20. В лифт 12-этажного дома вошли 5 человек. Каждый из них независимо друг от друга может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Какова вероятность того, что все вышли: а) на разных этажах; б) на одном этаже; в) на 7 этаже?

Задача 3.21. В урне 10 шаров с номерами от 1 до 10. Какова вероятность вынуть шар с номером 13?

Задача 3.22. В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5, а во втором – с номерами от 6 до 10. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность того, что сумма номеров вынутых шаров: а) не меньше 7; б) равна 11; в) не больше 11?

Задача 3.23. В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: , , , , . Найти вероятность того, что: а) на вынутых по одному и расположенных «в одну линию» кубиков можно будет прочесть слово ; б) получится слово , если вынули только три кубика.

Задача 3.24. В классе 10 человек, среди которых 4 мальчика. Для соревнований необходимо составить две команды с равным количеством участников. Какова вероятность того, что в каждой команде будет по 2 мальчика?

Задача 3.25. В партии из 150 деталей отдел технического контроля обнаруживает 12 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей?

Задача 3.26. Относительная частота сдачи зачета по физкультуре оказалась равной 0,85. Найти число сдававших зачет, если сдали зачет 119 человек.