Плотность вероятности

Все сказанное ранее относится к случаю, когда случайная величина принимает дискретные значения (имеет дискретный спектр). Для случайных величин, которые могут принимать непрерывный ряд значений от 0 до (имеют сплошной, или непрерывный, спектр), вводится понятие функции распределения случайной величины или плотности вероятности. Найдем вероятность dP того, что численное значение величины а будет лежать в пределах от а до а + dа. Очевидно, что вероятность dP будет пропорциональна ширине интервала dа:

. Коэффициент пропорциональности f(a) –плотность вероятности или функция распределения случайной величины а:

Условие нормировки:

Пусть имеем сосуд объемом V. Разделим все пространство в том числе и вне сосуда на малые объемы

N –число наблюдений; - число случаев, когда частица попадает в

Вероятность попасть в :

Вероятность обнаружить частицу в объеме . Это вероятность зависит от объема , поэтому неудобно в качестве первоначального понятия. Поэтому пользуются понятием плотности вероятности.

x,y,z –координаты точки, к которой стягиваются бесконечно малый объем

-вероятность обнаружить частицу в области, задаваемой малым интервалом радиуса-вектора

Плотность вероятности или функция распределения значений радиуса-вектора

- есть предел отношения вероятности обнаружить частицу в некотором объеме к величине этого объема при стягивании последнего в точку с радиусом-вектора

Формально можно расширить предел интегрирования до бесконечности, с точки зрения математики так удобнее, а условие нормировки это не нарушает.

- вероятность обнаружить частицу в объеме

Среднее значение дискретной случайной величины. Пусть случайная величина принимает ряд значений

Если одно и то же значение х встречается несколько раз, то перегруппируем сумму так, чтобы в нее входили только разные слагаемые.

Эта формула определяет математическое ожидание дискретной случайной величины. Можно сказать, что математическое ожидание является пределом, к которому стремится <X>при
Среднее значение непрерывной случайной величины.

Отклонение случайной величины от своего среднего значения определяется дисперсией –средним квадратом разности между данной величиной и ее средним значением.

-дисперсия для дискретной случайной величины

– дисперсия для непрерывной случайной величины

Корень из дисперсии называется стандартным или среднеквадратичным отклонением.

Флуктуации – случайные отклонения физических величин от их средних значений. Исторически одним из первых объектов для изучения флуктуаций послужило броуновское движение.

Простейшей мерой флуктуации величины х является ее дисперсия.

Объективной мерой отклонения величины х от <x> является относительная флуктуация.

В молекулярной физике флуктуации вызываются тепловым хаотическим движением частиц, образующих систему.

Относительное стандартное отклонение уменьшается с ростом числа в системе. Относительная роль флуктуации возрастает с уменьшением области, в котором эти флуктуации рассматриваются. Для малых объемов флуктуации легко обнаружить экспериментально. Флуктуация кладет предел в точности измерения физических величин. Физическую величину можно измерять до тех пор, пока точность измерения не станет сравнимой с флуктуацией.

Макропараметры P, V, T характеризуют макросостояние термодинамической системы.

Микросостояние системы задается координатами и скоростями (импульсами)всех частиц, образующих систему.

Пусть система состоит из N частиц, тогда ее микросостояние задается 6N переменными. (3N координат и 3N проекции скорости или 3N проекции импульса ). Эти числа будут случайными величинами. Говорят, что система изучается в 6N –мерном фазовом пространстве

Метод ячеек Больцмана. Весь объем занятой системы разобьём на ячейки так, чтобы в соседних ячейках находились частицы с близкими свойствами. Такое разбиение можно проделать не только для геометрического пространства, но и для пространства скоростей (или импульсов).

Объем элементарной ячейки в 6N – мерном фазовом пространстве будет равен:

или

Микросостояние системы характеризуются тем, чтобы все частицы определенным образом распределены по ячейкам. Т.к. все ячейки для каждой частицы равновозможны, все распределения частиц по ячейкам также равновозможны. Это означает, что все микросостояния равновероятны –постулат вероятности.

При своем движении частицы скачком переходят из одной ячейки в другую. При этом микросостояния системы меняются. В место наблюдения за изменением во времени состояния одной системы можно использовать большое число одинаковых физических систем, которое называется статистическим ансамблем.

Разделим весь объем занятой системы на ячейки и распределим частицы по ячейкам каким-то определенным образом. Благодаря тепловому движению, частицы будут перемещаться из ячейки в ячейку и в каждый последующий момент времени микросостояния системы будет иным. Набор таких микросостояний образуют статистический ансамбль.

В 1871 году Больцман высказал, а в 1879 году Максвелл развил эргодическую гипотезу. Она является одним из основополагающих допущений статистической физики. Средняя по ансамблю равна среднему по времени. Доказательств еще нет.

Пронумеруем ячейки. Т.к. координаты и скорости частиц –случайные величины, можно говорить лишь о вероятности частиц находиться в той или иной ячейке.

- вероятность того, что в ячейке номер 1 находится N1 частиц.

- вероятность того, что в ячейке номер 2 находится N2 частиц.

…

- вероятность того, что в ячейке номер l находится N l частиц.

Вероятность того, что это распределение частиц по ячейкам выполняется для всех ячеек одновременно, найдем по теореме умножения вероятностей.

A – константа, нужна для выполнения условия нормировки.

Частицы все пронумерованы, хотя и все одинаковые, поэтому, если в соседних ячейках частицы поменялись местами, то микросостояние системы изменится. Макросостояние системы при этом не изменится. Одно и тоже макросостояние реализуется при различных микросостояниях, обусловленных перестановками частиц.

Термодинамическая вероятность W равна числу микросостояний, посредством которых реализуется данное макросостояние.

Термодинамическая вероятность не является правильной дробно как математическая вероятность, а некоторое большое число.

Теоремы сложения и умножения вероятностей применимы и к термодинамической вероятности.

Ограниченность метода ячеек Больцмана: метод справедлив для невзаимодействующих частиц. Для взаимодействующих частиц используется распределение Гиббса.