Операции над нечеткими множествами

Включение. Пусть A и B – нечеткие множества на универсальном множестве X. Говорят, что Aсодержится в B, или B включает A, т.е. A ⊂ B, если ∀ x ∈ X μ A x ≤ μ B x. Иногда используют термин «доминирование», т.е. B доминирует A при A ⊂ B.

Рис.2.5. Включение (доминирование) нечетких множеств

Равенство. Пусть A и B – нечеткие множества на универсальном множестве X. Говорят, что A и Bравны, т.е. A = B, если ∀ x ∈ X μ A x = μ B x. В противном случае A ≠ B.

Рис.2.6. Равенство нечетких множеств

Дополнение. Пусть A и B – нечеткие множества с множеством принадлежностей характеристических функций M = 0; 1, заданные на универсальном множестве X. Говорят, что A и Bдополняют друг друга, т.е. A = B _ или B = A _, если ∀ x ∈ X μ A x = 1 − μ B x. Очевидно следствиеA _ = A – так называемое свойство инволюции.

Рис.2.7. Дополнение нечетких множеств

Пересечение нечетких множеств A и B, заданных на универсальном множестве X, – это наибольшее нечеткое множество A ∩ B, содержащееся одновременно и в A, и в B с функцией принадлежности, заданной следующим образом:

∀ x ∈ X μ A ∩ B x = min μ A x; μ B x.

Рис.2.8. Пересечение нечетких множеств

Рис.2.9. Объединение нечетких множеств

Объединение нечетких множеств A и B, заданных на универсальном множестве X, – это наименьшее нечеткое множество A ∪ B, включающее как A, так и B с функцией принадлежности, заданной следующим образом:

∀ x ∈ X μ A ∪ B x = max μ A x; μ B x.

Разность нечетких множеств A и B, заданных на универсальном множестве X, – это нечеткое множество A ∖ B = A ∩ B _ с функцией принадлежности, заданной следующим образом:

∀ x ∈ X μ A ∖ B x = μ A ∩ B _ x = min μ A x; 1 − μ B x.

Рис.2.10. Разность нечетких множеств

Симметрическая разность нечетких множеств A и B, заданных на универсальном множестве X, – это нечеткое множество A − B с функцией принадлежности, заданной следующим образом:

∀ x ∈ X μ A-B x = μ A x − μ B x.

Рис.2.11. Симметрическая разность и дизъюнктивная сумма нечетких множеств

Дизъюнктивная сумма нечетких множеств A и B, заданных на универсальном множестве X, – это нечеткое множество A ⊕ B = A ∖ B ∪ B ∖ A = A ∩ B _ ∪ A _ ∩ B с функцией принадлежности, заданной следующим образом:

∀ x ∈ X μ A ⊕ B x = max min μ A x; 1 − μ B x;min 1 − μ A x; μ B x.

Пример. Пусть на универсальном множестве X заданы следующие нечеткие подмножества:

A = 0,4 / x 1 + 0,2 / x 2 + 0 / x 3 + 1 / x 4,

B = 0,7 / x 1 + 0,9 / x 2 + 0,1 / x 3 + 1 / x 4,

C = 0,1 / x 1 + 0,1 / x 2 + 0,2 / x 3 + 0,9 / x 4.

В данном случае имеем следующие результаты операций.

Включение: A ⊂ B, т.е. A содержится в B или B доминирует A, поскольку для всех элементов множеств A, B выполняется условие доминирования B над A, μ A x ≤ μ B x. Пары A; C и B; Cпредставляют пары недоминируемых нечетких множеств, так как условие доминирования не выполняются для элемента x 3.

Равенство: A ≠ B ≠ C. Нечеткие множества неравны, так как для не выполняются условия равенства: ∀ x ∈ X μ A x = μ B x, что аналогично μ A x i = μ B x i, i = 1,2,3,4; ∀ x ∈ X μ A x = μ C x, что аналогично μ A x i = μ C x i, i = 1,2,3,4; ∀ x ∈ X μ B x = μ C x, что аналогично μ B x i = μ C x i, i = 1,2,3,4.

Дополнение:

A _ = 0,6 / x 1 + 0,8 / x 2 + 1 / x 3 + 0 / x 4,

где элементы A _ определяются как μ A _ x i = 1 − μ A x i,

B _ = 0,3 / x 1 + 0,1 / x 2 + 0,9 / x 3 + 0 / x 4,

где элементы B _ определяются как μ B _ x i = 1 − μ B x i,

C _ = 0,9 / x 1 + 0,9 / x 2 + 0,8 / x 3 + 0,1 / x 4,

где элементы C _ определяются как μ C _ x i = 1 − μ C x i.

Пересечение:

A ∩ B = 0,4 / x 1 + 0,2 / x 2 + 0 / x 3 + 1 / x 4,

где элементы нечеткого множества A ∩ B определяются как:

μ A ∩ B x 1 = min μ A x 1; μ B x 1 = min 0,4; 0,7 = 0,4,

μ A ∩ B x 2 = min μ A x 2; μ B x 2 = min 0,2; 0,9 = 0,2,

μ A ∩ B x 3 = min μ A x 3; μ B x 3 = min 0; 0,1 = 0,

μ A ∩ B x 4 = min μ A x 4; μ B x 4 = min 1; 1 = 1.

Аналогично определяются нечеткие множества B ∩ C и A ∩ C:

B ∩ C = 0,1 / x 1 + 0,1 / x 2 + 0,1 / x 3 + 0,9 / x 4,

A ∩ C = 0,1 / x 1 + 0,1 / x 2 + 0,2 / x 3 + 0,9 / x 4.

Объединение:

A ∪ B = 0,7 / x 1 + 0,9 / x 2 + 0,1 / x 3 + 1 / x 4,

где элементы нечеткого множества A ∪ B определяются как:

μ A ∪ B x 1 = max μ A x 1; μ B x 1 = max 0,4; 0,7 = 0,7,

μ A ∪ B x 2 = max μ A x 2; μ B x 2 = max 0,2; 0,9 = 0,9,

μ A ∪ B x 3 = max μ A x 3; μ B x 3 = max 0; 0,1 = 0,1,

μ A ∪ B x 4 = max μ A x 4; μ B x 4 = max 1; 1 = 1.

Аналогично определяются нечеткие множества B ∪ C и A ∪ C:

B ∪ C = 0,7 / x 1 + 0,9 / x 2 + 0,2 / x 3 + 1 / x 4,

A ∪ C = 0,4 / x 1 + 0,2 / x 2 + 0,2 / x 3 + 1 / x 4.

Разность:

A ∖ B = A ∩ B _ = 0,3 / x 1 + 0,1 / x 2 + 0 / x 3 + 0 / x 4,

где элементы нечеткого множества A ∖ B определяются как:

μ A / B x 1 = μ A ∩ B - x 1 = min μ A x 1; μ B _ x 1 = min 0,4; 0,3 = 0,3,

μ A ∖ B x 2 = μ A ∩ B - x 2 = min μ A x 2; μ B _ x 2 = min 0,2; 0,1 = 0,1,

μ A ∖ B x 3 = μ A ∩ B - x 3 = min μ A x 3; μ B _ x 3 = min 0; 0,9 = 0,

μ A ∖ B x 4 = μ A ∩ B - x 4 = min μ A x 4; μ B _ x 4 = min 1; 0 = 0.

Аналогичным образом определяется нечеткое множество B / A:

B ∖ A = B ∩ A _ = 0,6 / x 1 + 0,8 / x 2 + 0,1 / x 3 + 0 / x 4.

Симметрическая разность:

A − B = 0,3 / x 1 + 0,7 / x 2 + 0,1 / x 3 + 0 / x 4,

где элементы нечеткого множества A − B определяются как:

μ A − B x 1 = μ A x 1 − μ B x 1 = 0,4 − 0,7 = 0,3,

μ A − B x 2 = μ A x 2 − μ B x 2 = 0,2 − 0,9 = 0,7,

μ A − B x 3 = μ A x 3 − μ B x 3 = 0 − 0,1 = 0,1,

μ A − B x 4 = μ A x 4 − μ B x 4 = 1 − 1 = 0.

Дизъюнктивная сумма:

A ⊕ B = 0,6 / x 1 + 0,8 / x 2 + 0,1 / x 3 + 0 / x 4,

где элементы нечеткого множества A ⊕ B определяются как:

μ A ⊕ B x 1 = max min μ A x 1; 1 − μ B x 1;min 1 − μ A x 1; μ B x 1 = max min 0,4; 1 − 0,7;min 1 − 0,4; 0,7 =max min 0,4; 0,3;min 0,6; 0,7 = max 0,3; 0,6 = 0,6,

μ A ⊕ B x 2 = max min μ A x 2; 1 − μ B x 2;min 1 − μ A x 2; μ B x 2 = max min 0,2; 1 − 0,9;min 1 − 0,2; 0,9 =max min 0,2; 0,1;min 0,8; 0,9 = max 0,1; 0,8 = 0,8,

μ A ⊕ B x 3 = max min μ A x 3; 1 − μ B x 3;min 1 − μ A x 3; μ B x 3 = max min 0; 1 − 0,1;min 1 − 0; 0,1 maxmin 0; 0,9;min 1; 0,1 = max 0; 0,1 = 0,1,

μ A ⊕ B x 4 = max min μ A x 4; 1 − μ B x 4;min 1 − μ A x 4; μ B x 4 = max min 1; 1 − 1;min 1 − 1; 1 = max min1; 0;min 0; 1 = max 0; 0 = 0.

Пусть A, B и C – нечеткие множества, заданные на универсальном множестве X. Тогда для операций пересечения и объединения нечетких множеств выполняются следующие свойства:

· A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A, – коммутативность;

· A ∩ B ∩ C = A ∩ B ∩ C, A ∪ B ∪ C = A ∪ B ∪ C, – ассоциативность;

· A ∩ B ∪ C = A ∩ B ∪ A ∩ C, A ∪ B ∩ C = A ∪ B ∩ A ∪ C, – дистрибутивность;

· A ∩ A = A, A ∪ A = A, – идемпотентность;

· A ∪ ∅ = A, где ∅ – пустое множество, т.е. μ ∅ x = 0, ∀ x ∈ X.

· A ∩ ∅ = ∅;

· A ∩ X = A;

· A ∪ X = X;

· A ∩ B _______ = A _ ∪ B _, A ∪ B _______ = A _ ∩ B _, – теоремы Де Моргана.

· A ∩ A _ ≠ ∅, A ∪ A _ ≠ X, – в отличие от аналогичных свойств для обычного (четкого) множества, заданного на множестве E подмножества D, для которого D ∩ D _ = ∅, D ∪ D _ = E,

· A ⊕ B = A ∖ B ∪ B ∖ A.

Введенные выше операции над нечеткими множествами основаны на использовании операций maxи min. В теории нечетких множеств разрабатываются вопросы построения обобщенных, параметризованных операторов пересечения, объединения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысловые оттенки соответствующих им лингвистических связок естественного языка «и», «или», «не» [7]. Один из подходов к операторам пересечения и объединения заключается в их определении при помощи нечетких операторов, т.н.треугольных норм и конорм. Следует обратить внимание на то, что представленные выше операции пересечения min μ A x, μ B x и объединения max μ Ax, μ B x, использующиеся как самостоятельно, так и при введении операций разности, симметрической разности и дизъюнктивной суммы – это только один из возможных вариантов определения данных операций, веденный основоположником теории нечетких множеств Л.Заде.

Треугольной нормой (t -нормой) называется двуместная действительная функция T, отображающая две функции принадлежности нормальных нечетких множеств μ A x, μ B x в одну функцию принадлежности нормального нечеткого множества и удовлетворяющая следующим условиям:

· T 0,0 = 0, T μ A x,1 = μ A x, T 1, μ A x = μ A x – ограниченность;

· T μ A x, μ B x ≤ T μ C x, μ D x, если μ A x ≤ μ C x, μ B x ≤ μ D x для ∀ x ∈ X – монотонность;

· T μ A x, μ B x = T μ B x, μ A x – коммутативность;

· T μ A x, T μ B x, μ C x = T T μ A x, μ B x, μ C x – ассоциативность.

Примерами t -норм являются следующие функции:

min μ A x, μ B x – нечеткое «И» по Заде,

max 0; μ A x + μ B x − 1 – нечеткое «И» по Лукашевичу,

μ A x ⋅ μ B x – нечеткое «И» по Бандлеру.

Треугольной конормой (t -конормой) называется двуместная действительная функция T, отображающая две функции принадлежности нормальных нечетких множеств μ A x, μ B x в одну функцию принадлежности нормального нечеткого множества и удовлетворяющая следующим условиям:

· T 1,1 = 1, T μ A x,0 = μ A x, T 0, μ A x = μ A x – ограниченность;

· T μ A x, μ B x ≥ T μ C x, μ D x, если μ A x ≤ μ C x, μ B x ≥ μ D x для ∀ x ∈ X – монотонность;

· T μ A x, μ B x = T μ B x, μ A x – коммутативность;

· T μ A x, T μ B x, μ C x = T T μ A x, μ B x, μ C x – ассоциативность.

Примерами t -конорм являются следующие функции:

max μ A x, μ B x – нечеткое «ИЛИ» по Заде,

min 1; μ A x + μ B x − 1 – нечеткое «ИЛИ» по Лукашевичу,

μ A x + μ B x − μ A x ⋅ μ B x – нечеткое «ИЛИ» по Бандлеру.

Граничное пересечение нечетких множеств A и B на универсальном множестве X – это нечеткое множество A ° B с функцией принадлежности, заданной следующим образом:

∀ x ∈ X μ A ° B x = max 0; μ A x + μ B x − 1.

Граничное объединение нечетких множеств A и B на универсальном множестве X – это нечеткое множество A ⊗ B с функцией принадлежности, заданной следующим образом:

∀ x ∈ X μ A ⊗ B x = min μ A x ⋅ μ B x; 1.

Драстическое пересечение нечетких множеств A и B на универсальном множестве X – это нечеткое множество AΔB с функцией принадлежности, заданной следующим образом:

∀ x ∈ X μ AΔB x = μ B x, если μ A x = 1, μ A x, если μ B x = 1, 0, в остальных случаях.

Драстическое объединение нечетких множеств A и B на универсальном множестве X – это нечеткое множество A ∇ B с функцией принадлежности, заданной следующим образом:

∀ x ∈ X μ A ∇ B x = μ B x, если μ A x = 0, μ A x, если μ B x = 0, 1, в остальных случаях.

λ -сумма нечетких множеств A и B на универсальном множестве X – это нечеткое множество A + Bλ с функцией принадлежности, заданной как:

∀ x ∈ X μ A + B λ x = λμ A x + 1 − λ μ B x, λ ∈ 0; 1.

Алгебраическое произведение нечетких множеств A и B на универсальном множестве X – это нечеткое множество A ⋅ B с функцией принадлежности, заданной следующим образом:

∀ x ∈ X μ A ⋅ B x = μ A x ⋅ μ B x.

Алгебраическая сумма нечетких множеств A и B на универсальном множестве X – это нечеткое множество A + B с функцией принадлежности, заданной следующим образом:

∀ x ∈ X μ A + B x = μ A x + μ B x − μ A x ⋅ μ B x.

Пусть A, B и C – нечеткие множества, заданные на универсальном множестве X. Тогда для операций алгебраического произведения и алгебраической суммы нечетких множеств выполняются следующие свойства:

· A ⋅ B = B ⋅ A, A + B = B + A, – коммутативность;

· A ⋅ B ⋅ C = A ⋅ B ⋅ C, A + B + C = A + B + C, – ассоциативность;

· A + ∅ = A;

· A ⋅ ∅ = ∅;

· A ⋅ X = A;

· A + X = X;

· A ⋅ B ______ = A _ + B _, A + B ______ = A _ ⋅ B _, – теоремы Де Моргана.

· A ⋅ B + C ≠ A ⋅ B + A ⋅ C, A + B ⋅ C ≠ A + B ⋅ A + C, – не выполняется дистрибутивность;

· A ⋅ A ≠ A, A + A ≠ A, – не выполняется идемпотентность;

· A ⋅ A _ ≠ ∅, A + A _ ≠ X, – в отличие от аналогичных свойств для обычного (четкого) множества, заданного на универсальном множестве E подмножества D, для которого D ∩ D _ = ∅, D ∪ D _ = E.

Пусть A, B и C – нечеткие множества, заданные на универсальном множестве X. Тогда при совместном использовании операций пересечения, объединения, алгебраического произведения и алгебраической суммы нечетких множеств выполняются следующие свойства:

Доказательства приводимых свойств операций над нечеткими множествами подробно рассмотрены в [25].

Пример. Докажем теорему Де Моргана для алгебраического произведения нечетких множеств A ⋅ B______ = A _ + B _. Обозначим μ A x = a, μ B x = b. Тогда в левой части равенства для функции принадлежности μ A ⋅ B ___ x каждого элемента x имеем μ A ⋅ B ___ x = 1 − ab. В правой части равенства для μ A - + B - x каждого элемента x имеем μ A - + B - x = 1 − a + 1 − b − 1 − a 1 − b = 1 − a + 1 −b − 1 + b + a − ab = 1 − ab. Следовательно равенство верно.

На основе операции алгебраического произведения определяется операция возведения в степень αнечеткого множества A, определенного на универсальном множестве X, где α - положительное число. Нечеткое множество A α определяется как:

∀ x ∈ X μ A α x = μ A α x.

Частным случаем возведения в степень являются операции концентрации CON A = A 2, которая снижает степень нечеткости описания, и растяжения DIL A = A 0,5, которая повышает степень нечеткости описания (рис.2.12).

Рис.2.12. Изменение степени нечеткости описания

Умножение на число. Если α – положительное число, такое, что α ⋅ max x ∈ X μ A x ≤ 1, то нечеткое множество αA определяется как:

∀ x ∈ X μ αA x = αμ A x.

Выпуклая комбинация нечетких множеств. Пусть A 1 … A n – нечеткие множества универсальных множеств X 1 … X n соответственно, а ω 1 … ω n – неотрицательные числа, такие, что ∑ i= 1 n ω i = 1. Выпуклой комбинацией нечетких множеств A 1 … A n называется нечеткое подмножество Aмножества X = X 1 × … × X n с n -мерной функцией принадлежности:

∀ x i ∈ X i μ A x 1, …, x n = ω 1 μ A 1 x 1 + … + ω n μ A n x n = ∑ i = 1 n ω i μ A i x i.

Пример. A 1 = 0,5 / 1 + 1 / 2, A 2 = 0,2 / 2 + 1 / 3, ω 1 = 0,4, ω 2 = 0,6.

A = ∑ i ω i μ A i x i = 0,5 ⋅ 0,4 + 0,2 ⋅ 0,6 / 1; 2 + 0,5 ⋅ 0,4 + 1 ⋅ 0,6 / 1; 3 + 1 ⋅ 0,4 + 0,2 ⋅ 0,6 / 2; 2 + 1 ⋅ 0,4 + 1 ⋅0,6 / 2; 3 = 0, 32 / 1; 2 + 0,8 / 1; 3 + 0, 52 / 2; 2 + 1 / 2; 3

Декартово произведение нечетких множеств. Пусть A 1 … A n – нечеткие подмножества универсальных множеств X 1 … X n соответственно. Декартово произведение A = A 1 × … × A n является нечетким подмножеством множества X = X 1 × … × X n с n -мерной функцией принадлежности:

∀ x i ∈ X i μ A x 1, …, x n = min μ A 1 x 1; …; μ A n x n.

Пример. A 1 = 0,3 / 1 + 1 / 2, A 2 = 0,1 / 2 + 1 / 3 + 0,2 / 4.

A 1 × A 2 = min μ A 1 1; μ A 2 2 / 1; 2 + min μ A 1 1; μ A 2 3 / 1; 3 + min μ A 1 1; μ A 2 4 / 1; 4 + min μ A 1 2; μA 2 2 / 2; 2 + min μ A 1 2; μ A 2 3 / 2; 3 + min μ A 1 2; μ A 2 4 / 2; 4 = min 0,3; 0,1 / 1; 2 + min 0,3; 1 / 1; 3 + min0,3; 0,2 / 1; 4 + min 1; 0,1 / 2; 2 + min 1; 1 / 2; 3 + min 1; 0,2 / 2; 4 = 0,1 / 1; 2 + 0,3 / 1; 3 + 0,2 / 1; 4 + 0,1 / 2; 2+ 1 / 2; 3 + 0,2 / 2; 4

Оператор увеличения нечеткости используется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества. Пусть A – нечеткое множество, определенное на универсальном множестве X и для всех x ∈ X на этом же универсальном множестве X определены нечеткие множества K x. Совокупность всех K x называется ядром оператора Φ увеличения нечеткости. Результатом действия оператора Φ на нечеткое множество A является нечеткое множество вида:

Φ A, K = ∪ x ∈ X μ A x K x,

где μ A x K x – произведение числа μ x на соответствующее нечеткое множество K x для каждого x ∈X.

Пример. X = 1; 2; 3; 4, A = 0,8 / 1 + 0,6 / 2 + 0,2 / 3 + 0 / 4, K 1 = 1 / 1 + 0,4 / 2, K 2 = 1 / 2 + 0,4 / 3 +0,4 / 4, K 3 = 1 / 3 + 0,5 / 4, K 4 = 1 / 4.

Φ A, K = μ A 1 K 1 ∪ μ A 2 K 2 ∪ μ A 3 K 3 ∪ μ 8 A 4 K 4 = 0,8 1 / 1 + 0,4 / 2 ∪ 0,6 1 / 2 + 0,4 / 3 + 0,4 / 4 ∪ 0,21 / 3 + 0,5 / 4 ∪ 0 1 / 4 = 0,8 / 1 + 0, 32 / 2 ∪ 0,6 / 2 + 0, 24 / 3 + 0, 24 / 4 ∪ 0,2 / 3 + 0,1 / 4 ∪ 0 / 4 = 0,8 / 1 + 0, 32 /2 + 0 / 3 + 0 / 4 ∪ 0 / 1 + 0,6 / 2 + 0, 24 / 3 + 0, 24 / 4 ∪ 0 / 1 + 0 / 2 + 0,2 / 3 + 0,1 / 4 ∪ 0 / 1 + 0 / 2 + 0 / 3 + 0 / 4 =max 0,8; 0; 0; 0 / 1 + max 0, 32; 0,6; 0; 0 / 2 + max 0; 0, 24; 0,2; 0 / 3 + max 0; 0, 24; 0,1; 0 / 4 = 0,8 / 1 + 0,6 / 2+ 0, 24 / 3 + 0, 24 / 4

Множеством α -уровня нечеткого множества A, определенного на универсальном множестве X, называется четкое подмножество A α универсального множества X, определяемое в виде:

A α = x ∈ X ∣ μ A x ≥ α, где α ∈ 0; 1.

Пример. A = 0,8 / 1 + 0,6 / 2 + 0,2 / 3 + 1 / 4, A 0,5 = 1; 2; 4, член 0,2 / 3 в множество A 0,5 не входит, так как значение его функции принадлежности не удовлетворяет множеству уровня α = 0,5.

Для множеств α -уровня выполняется следующее свойство: если α 1 ≥ α 2, то A α 1 ≤ A α 2, т.е. мощность подмножества A α 1 не больше мощности подмножества A α 2.

Теорема о декомпозиции. Всякое нечеткое множество A, может быть представлено объединением всех своих α -уровневых множеств:

A = ∪ α ∈ 0; 1 α / x ∣ x ∈ A α.

Пример: Нечеткое множество A = 0,1 / x 1 + 0 / x 2 + 0,7 / x 3 + 1 / x 4 представимо в виде объединения всех своих α -уровневых множеств A 0 = x 1; x 2; x 3; x 4, A 0,1 = x 1; x 3; x 4, A 0,7 = x 3;x 4, A 1 = x 4:

A = 0 / x ∣ x ∈ A 0 ∪ 0,1 / x ∣ x ∈ A 0,1 ∪ 0,7 / x ∣ x ∈ A 0,7 ∪ 1 / x ∣ x ∈ A 1

A = 0 / x 1 + 0 / x 2 + 0 / x 3 + 0 / x 4 ∪ 0,1 / x 1 + 0,1 / x 3 + 0,1 / x 4 ∪ 0,7 / x 3 + 0,7 / x 4 ∪ 1 / x 4.

A = 0,1 / x 1 + 0 / x 2 + 0,7 / x 3 + 1 / x 4.