Факторный анализ. В качестве примера применения факторного анализа приведем изучение свойств личности с помощью психологических тестов

При исследовании сложных объектов и систем (например, в психологии, биологии, социологии т.д.), часто мы не можем непосредственно измерить величины, определяющие свойства этих объектов (так называемые факторы), а иногда нам не известны даже число и содержательный смысл факторов. Для измерений могут быть доступны иные величины, тем или иным способом зависящие от этих факторов. При этом, когда влияние неизвестного фактора проявляется в нескольких измеряемых признаках, эти признаки могут обнаруживать тесную связь между собой (например, коррелированность), поэтому общее число факторов может быть гораздо меньше, чем число измеряемых переменных, которое обычно выбирается исследователем в той или иной мере произвольно. Для обнаружения влияющих на измеряемые переменные факторов используются методы факторного анализа.

В качестве примера применения факторного анализа приведем изучение свойств личности с помощью психологических тестов. Свойства личности не поддаются прямому измерению, о них можно судить только на основании поведения человека, ответа на те или иные вопросы и т.д. Для объяснения результатов проведенных опытов их результаты подвергаются факторному анализу, который и позволяет выявить те личностные свойства, которые оказывали влияние на поведение испытуемых в проведенных опытах.

Первым этапом факторного анализа, как правило, является выбор новых признаков, которые являются линейными комбинациями прежних и «вбирают» в себя большую часть общей изменчивости наблюдаемых данных, а поэтому передают большую часть информации, заключенной в первоначальных наблюдениях. Обычно это осуществляют с помощью метода главных, компонент, хотя иногда используют и другие приемы (скажем, метод максимального правдоподобия). Метод главных компонент по существу сводится к выбору новой ортогональной системы координат в пространстве наблюдений. В качестве первой главной компоненты избирают направление, вдоль которого массив наблюдений имеет наибольший разброс, выбор каждой последующей главной компоненты происходит так, чтобы разброс наблюдений вдоль нее был максимальным и чтобы эта главная компонента была ортогональна другим главным компонентам, выбранным прежде.

Хотя принцип основной стратегии прост, его применение — разнообразно, поскольку есть различные критерии наилучшего соответствия (или минимальной невязки). Существуют два главных метода решения, в которых фигурируют общие факторы:

1) метод максимального правдоподобия, варианты которого сводятся к каноническому факторному анализу и к алгоритмам, основанным на минимизации детерминантов матрицы частных коэффициентов корреляции;

2) 2) метод наименьших квадратов, варианты которого включают метод главных осей с итерациями по общности и метод минимальных остатков.

Кроме того, существуют еще три основных метода выделения:

1) альфа-факторный анализ;

2) анализ образов;

3) анализ главных компонент.

Метод наименьших квадратов в факторном анализе сводится к минимизации остаточной корреляции после выделения определенного числа факторов и к оцениванию степени соответствия, вычисленных и наблюдаемых коэффициентов корреляции (берется сумма квадратов отклонений).

Метод максимального правдоподобия преследует ту же цель, что и метод наименьших квадратов—найти факторное решение, которое наилучшим образом объясняет наблюдаемые корреляции. Задача сводится к оцениванию значений латентных переменных (нагрузок) генеральной совокупности, при которых в заданных предположениях функция правдоподобия для распределения элементов корреляционной матрицы максимальна. Несколько иной критерий заключается в нахождении факторных нагрузок, при которых общие факторы и наблюдаемые переменные находятся в канонической корреляции, т. е. коэффициент корреляции между ними максимален. Третий критерий, основанный на тех же принципах, сводится к определению факторных нагрузок, при которых детерминант матрицы остаточных корреляций максимален.

Предполагается, что и в методе наименьших квадратов и в методе максимального правдоподобия существует генеральная совокупность объектов, на которую распространяются результаты статистического анализа выборки. В альфа-факторном анализе используемые переменные считаются выборкой из некоторой совокупности переменных, о которой можно судить на основании наблюдаемой совокупности объектов. Таким образом, в альфа-факторном анализе выводы носят психометрический, а не статистический характер. В анализе образов определение общей и характерной части переменной отличается от принятого в классическом факторном анализе. Под общей частью переменной подразумевается та ее составляющая, которая выражается через линейную комбинацию других переменных. Эта доля переменной называется «образ-переменной». Вторая составляющая переменной, независимая от остальных, называется «антиобразом». Причем считается, что мы имеем дело с генеральными совокупностями переменных и объектов; все вопросы, связанные с выборкой, не рассматриваются.

Однако обычно факторы, полученные методом главных компонент, не поддаются достаточно наглядной интерпретации. Поэтому следующим шагом факторного анализа служит преобразование (вращение) факторов таким образом, чтобы облегчить их интерпретацию.

Шаг, связанный с вращением, включает два варианта: ортогональное и косоугольное вращение. Косоугольные вращения в свою очередь подразделяются на те, которые основаны на прямом упрощении матрицы коэффициентов факторного отображения, и на те, которые используют упрощение матрицы нагрузок на вторичные оси. Внутри этих вариантов существует множество подвариантов.