Регрессионный и корреляционный анализ

Цель регрессионного анализа — установить конкретную аналитическую зависимость одного или нескольких результативных показателей от одного или нескольких признаков-факторов. Полученное при этом уравнение регрессии используется для содержательного описания изучаемого процесса, прогнозирования, выбора оптимального варианта и т. д. Если в уравнение регрессии включены признаки-факторы, учитывающие и возможное случайное поведение результативного признака, то такое выражение представляет регрессионную модель явления или процесса. Наибольшее применение получили уравнения регрессии, отражающие взаимосвязь одного результативного признака с одним (парная регрессия) или несколькими (множественная регрессия) признаками-факторами.

Для регрессионного анализа чаще всего используют следующие парные и множественные зависимости:

Y = а₀+а₁*Х (парная линейная регрессия);

Y = а₀+а₁*Х + а₂ * Х² (парная параболическая регрессия);

(парная полиномиальная регрессия степени р),

(парная гиперболическая регрессия);

Y = а_о*X^а1 (парная степенная регрессия);

Y = а_о* а₁^Х (парная показательная регрессия);

Y = а₀+а₁*Х₁ + а₂ * Х₂+…+а_Р*Х^Р (множественная линейная регрессия);

Y = а_о*X₁^а1 * X₂^а2*…* X_р^ар (множественная степенная регрессия).

После выбора формы аналитической связи результативного и факторных признаков ставится задача определения конкретных числовых значений параметров а₀, а₁,..., а_Р. Проще всего она решается, если эта связь (парная или множественная) — линейная. Параметры уравнения регрессии рассчитываются таким образом, чтобы вычисленные по уравнению значения Y в наименьшей мере отличались от фактически наблюдаемых. Это достигается расчетом параметров уравнений регрессии по методу наименьших квадратов. Параметры регрессии по данному методу подбираются такими, чтобы обеспечить минимальную сумму квадратов отклонений фактических величин Y от вычисленных по уравнению регрессии для заданных значений факторных признаков.

О качестве полученных уравнений регрессии судят по той доле общей дисперсии признака Y, которая объясняется факторными признаками уравнения регрессии. По аналогии с расчетом доли межгрупповой дисперсии признака Y в общей дисперсии для каждого конкретного уравнения парной или множественной зависимости может быть определена величина дисперсии факторной и показана ее доля в общей вариации признака результата Y. Факторная дисперсия показывает вариацию теоретических значений признака Y, найденных по уравнению регрессии, относительно его среднего уровня `Y.

Отношение факторной дисперсии к общей называется теоретическим индексом (множественной) детерминации или просто индексом детерминации.

Корреляционный анализ проводится по итогам регрессионного анализа.

Проверка статистической значимости всех параметров, полученных в процессе регрессионно-корреляционного анализа, основывается на предположении, что все эти параметры, а точнее — их значения, являются конкретными числовыми реализациями некоторых случайных величин и для каждого конкретного значения параметра можно оценить как вероятность превышения найденной величины, так и вероятность того, что в процессе расчета могли получить меньшее значение параметра. Здесь используется принцип практической невозможности маловероятных событий. Если найденная величина параметра все-таки попала в зону маловероятных значений, то с достаточной для практики строгостью данное значение параметра можно считать неслучайным или статистически значимым. Если же конкретное значение параметра попадает в область весьма вероятных значений, то это подтверждает гипотезу случайности вычисленного параметра, его статистической незначимости; доверие к такому параметру уменьшается. Проверка значимости сводится к сравнению полученного значения с тем числом, которое отделяет область маловероятных значений от весьма вероятных.