Электромагнитное поле произвольно движущихся зарядов. Запаздывающие потенциалы

Рассмотрим систему зарядов, совершающих произвольное движение в некотором ограниченном объеме (рис. 2.46).

Рис. 2.46. Система зарядов, совершающая произвольное движение в ограниченном объеме.

Распределение и движение зарядов в этом объеме будем характеризовать плотностью заряда и плотностью тока . Эти величины заданы для любой точки Р объема и любого момента времени . Вначале, однако, мы найдем поле, обусловленное источниками заданными для моментов времени , т.е. будем считать заданными и для , а для и .

Так как до момента времени источники отсутствовали, то и поле равно нулю для .

В дальнейшем мы будем искать поле для моментов времени . Следовательно, начальные условия:

, (2.86)

, (2.87)

где М – точка наблюдения.

Уравнения, которым удовлетворяют потенциалы и :

Разобьем объем на совокупность как угодно малых объемов. Заряд i -ого объема .

Будем рассматривать поле только движущихся зарядов этого элементарного объема . Далее воспользуемся принципом суперпозиции.

Введем сферическую систему координат с началом, помещенным в объеме . Очевидно, скалярное поле , обусловленное зарядами этого объема, обладает сферической симметрией. Учитывая это запишем уравнение для в сферических координатах:

.

Интегрирование этого уравнения произведем по методу Даламбера. Метод Даламбера заключается в сведении уравнения в частных производных такого типа к уравнению со смешанной второй производной.

Перепишем уравнение в таком виде:

и введем новую неизвестную функцию

,
что возможно, т.к. вне объема . Тогда:

.

Введем теперь новые переменные

, .
Отсюда

, ,
так что

,

.
Далее:

.

Таким образом, в новых переменных уравнение имеет вид:

,
или:

.

После первого интегрирования этого уравнения получим:

.

После второго интегрирования получаем:

.
Или:

.

Возвращаясь к старым независимым переменным, получаем:

.

Найденное решение имеет простой смысл. Так значение функции в точке в момент времени совпадает со значением этой функции в точке в момент времени . Это означает, что описывает волновой процесс. Волна распространяется в сторону возрастающих значений расстояния от начала координат со скоростью . Аналогично описывает волну, распространяющуюся от больших к меньшим в направлении к началу координат и также со скоростью .

Возвращаясь к старой неизвестной функции, получим:

. (2.88)

Сферы являются поверхностями равных значений . Т.е. скалярный потенциал представляет собой совокупность расходящихся и сходящихся сферических волн.

Попробуем удовлетворить начальному условию (2.86) только с помощью первой функции из (2.88). Для малых эта функция равна

.

Естественно предположить, что для малых потенциал определяется как в статике (см. следующую лекцию):

.

Для любых точек:

Если подставить в это выражение значение , то получим:

,
так как в соответствии с предположением о том, что для

.
Следовательно, функция удовлетворяет начальному условию (2.86).

Если использовать только второе слагаемое (2.88) то по аналогии получим:

Эта функция не удовлетворяет начальному условию (2.86), так как (см. начало этой лекции).

Таким образом, результирующий потенциал будет иметь вид суперпозиции потенциалов . Переходя к пределу при приходим к интегралу:

. (2.89)

Для получения потенциала в точке наблюдения в момент времени нужно взять интеграл от величины по всему объему. При этом, однако, значение плотности заряда в точке интегрирования берется не в момент времени , а в более ранний момент времени , где время запаздывания потенциала от источника определяется расстоянием от каждой точки до точки наблюдения М (оно разное для разных точек ). В связи с этим потенциал (2.89) называют запаздывающим скалярным потенциалом.

Для получения выражения для векторного потенциала запишем дифференциальные уравнения для х -овой компоненты этого потенциала:

в ,

вне .

Сравним эти уравнения с уравнениями для скалярного потенциала. Видим, что они совпадают. Нужно только заменить на , а заменить на . Поэтому решение для получается из решения для указанной заменой:

. (2.90)

Аналогично можно получить выражения для и :

, (2.91)

. (2.92)

Умножая выражения (2.90), (2.91), (2.92) соответственно на орты , , и складывая эти выражения, приходим к формуле для запаздывающего векторного потенциала:

. (2.93)

Как и для скалярного потенциала имеет место запаздывание векторного потенциала от источников . Это время запаздывания различно для разных точек наблюдения .

Необходимо отметить, что возмущение, как для скалярного, так и для векторного потенциала распространяется от точки интегрирования к точке наблюдения со скоростью с.

Заметим также, что, так как потенциал в точке М в любой момент времени t определяется источниками, взятыми в точках P в моменты времени , то требование нулевых начальных условий отпадает, т.е. в формулах (2.89) и (2.93) источники и могут быть отличными от нуля для .

Вопросы и задачи к лекции 8

102-1. Запишите дифференциальные уравнения для электродинамических потенциалов внутри и вне объема , если движущиеся заряды имеются в объеме и отсутствуют вне объема .

103-2. В чем смысл решения волнового уравнения методом Даламбера?

104-3. Запишите формулу для запаздывающего скалярного потенциала.

105-4. Запишите формулу для запаздывающего векторного потенциала.

106-5. Запишите формулы для электродинамических потенциалов в случае, когда заряды в объеме неподвижны и не изменяются во времени (, ).

107-6. Запишите формулы для электродинамических потенциалов в случае, когда плотность тока и плотность заряда не зависят от времени (, ). В какой физической ситуации это возможно?

108-7. На рис. 2.47 изображен объем и две точки наблюдения и . Известно, что .

Рис. 2.47. Объем с изменяющимся зарядом

В момент времени заряд в объеме равен , а в момент времени заряд в объеме равен . Как выражается заряд через заряд , если скалярный потенциал зарядов объема в точке М₁ в момент времени равен потенциалу зарядов объема в точке М₂ в момент времени ?