Электродинамические потенциалы

Как было показано, электромагнитное поле зарядов и токов в вакууме описывается системой дифференциальных уравнений Максвелла:

,

,

,

.

Здесь при заданных полях источников и неизвестными являются два векторных поля и или, что эквивалентно, шесть скалярных полей. Например, в декартовой системе координат такими полями являются , .

Часто для упрощения расчета электромагнитного поля вводят вспомогательные функции (поля) так, что искомые поля и выражаются через них. Такие вспомогательные функции называются потенциалами. Подставив в уравнения Максвелла вместо и их выражения через потенциалы, получим дифференциальные уравнения для этих потенциалов. Решая эти уравнения, находим потенциалы. Используя их, находим поля и .

Преимуществом введения потенциалов являются два факта: количество искомых полей будет меньше, количество дифференциальных уравнений также будет меньше.

По определению векторным потенциалом электромагнитного поля называется такое векторное поле , ротор которого в каждой точке пространства в любой момент времени равен индукции магнитного поля :

. (2.76)

Тогда уравнение удовлетворяется тождественно, так как

.

Подставим выражение для (2.76) во второе уравнение Максвелла. Получим:

.

Видим, что поле безвихревое во всех точках пространства. Как известно, безвихревое поле может быть представлено в виде градиента скалярного поля .

Обозначим . Тогда:

. (2.77)

Выражение (2.77) является определением скалярного потенциала . Т.е. скалярным потенциалом электромагнитного поля называется такое скалярное поле , градиент которого равен .

и называют электродинамическими потенциалами.

Количество неизвестных скалярных полей уменьшилось с шести до четырех: , , , .

Из выражения (2.77) следует, что

. (2.78)

Если во второе уравнение Максвелла вместо и подставить их выражения через электродинамические потенциалы (2.76) и (2.78), то оно будет удовлетворяться тождественно.

Для получения дифференциальных уравнений для и необходимо использовать первое и четвертое уравнения Максвелла. Подставим выражения для и (2.76) и (2.78) в первое уравнение Максвелла. Тогда получим:

.
Или:

.
Здесь использована формула (1.30).

Как будет показано ниже, потенциалы и своими определениями задаются неоднозначно, поэтому на них можно наложить дополнительное условие. Первый вариант этого условия:

. (2.79)

Это условие называется условием калибровки Лоренца.

Если использовать условие калибровки Лоренца, то последнее дифференциальное уравнение для потенциалов примет вид

.

Легко показать, что , где ‑ скорость света в вакууме. Тогда окончательно дифференциальное уравнение для :

. (2.80)

Для получения дифференциального уравнения для подставим в четвертое уравнение Максвелла вместо выражение (2.78) и учтем условие калибровки Лоренца. Тогда получим

. (2.81)

Уравнения (2.81) и (2.80) называются неоднородными волновыми уравнениями или неоднородными уравнениями Даламбера.

Теперь о неоднозначности электродинамических потенциалов. Пусть ‑ векторный потенциал электромагнитного поля, т.е. . Тогда , где f – произвольное скалярное поле, тоже векторный потенциал:

,
так как . Следовательно, векторный потенциал определяется с точностью до градиента произвольного скалярного поля.

Скалярный потенциал также определяется выражением (2.77) неоднозначно. Пусть – скалярный потенциал, соответствующий векторному потенциалу , т.е. . Тогда будет скалярным потенциалом, соответствующим векторному потенциалу . На самом деле:

.

Преобразования

называются калибровочными градиент-преобразованиями. При калибровочных градиент-преобразованиях векторы и не изменяются, т.е

,

.

Покажем теперь, что условие калибровки Лоренца (2.79) может быть наложено на электродинамические потенциалы. Пусть и такие электродинамические потенциалы, что для них условие калибровки Лоренца не выполняются, т.е.

, (2.82)

где F ‑ некоторое скалярное поле, отличное от тождественного нуля.

Организуем новые электродинамические потенциалы

, .
Функцию f попытаемся подобрать так, чтобы новые потенциалы удовлетворяли условию калибровки Лоренца, т.е. чтобы имело место тождество . Подставляя в последнее тождество выражения для и через и и учитывая (2.82), получим:

.

Как известно из курса методов математической физики, это уравнение (неоднородное волновое уравнение) имеет решение при любой правой части. Следовательно, из всего множества электродинамических потенциалов найдутся такие потенциалы, которые будут удовлетворять условию калибровки Лоренца.

Пусть и – электродинамические потенциалы, удовлетворяющие условию калибровки Лоренца. Пусть произведены калибровочные градиент-преобразования

(2.83)

Выясним, какому условию должна удовлетворять функция f₀, чтобы новые потенциалы и также удовлетворяли условию калибровки Лоренца (в частности выясним, может ли она отличаться от тождественного нуля).

Подставляя (2.83) в выражение , получим:

. (2.84)

Как известно из курса методов математической физики этому уравнению (однородному волновому уравнению) удовлетворяет не только , но и бесконечное множество функций , отличных от тождественного нуля. Следовательно, условие калибровки Лоренца не делает электродинамические потенциалы однозначными. В конкретных задачах расчета электромагнитного поля для упрощения уравнений на потенциалы накладываются еще другие дополнительные условия.

Если функция удовлетворяет уравнению (2.84), то преобразования (2.83) называются укороченными калибровочными преобразованиями, т.е. после этих преобразований остается в силе условие калибровки Лоренца.

Если в данной части пространства заряды отсутствуют (), то тогда можно применить для электродинамических потенциалов следующую калибровку:

; . (2.85)

Векторный потенциал будет удовлетворять уравнению (2.80) или:

(в той части пространства, где ). Поля и в этих случаях будут выражаться так

, .

Калибровка (2.85) называется кулоновской калибровкой. Таким образом, свободное поле (, ) описывается одним векторным потенциалом, удовлетворяющим однородному волновому уравнению и условию калибровки .

Если же заряды присутствуют в данной части пространства (), то нельзя применить калибровку Кулона (2.85), так как из выражений и получим , что противоречит уравнению .

Вопросы и задачи к лекции 7

93-1. Дайте определение векторного потенциала электромагнитного поля

94-2. Магнитное поле изменяется по закону (рис. 2.45). Найдите какой-либо векторный потенциал этого поля

Рис. 2.45. Пример определения векторного потенциала по заданной индукции магнитного поля

95-3. Дайте определение скалярного потенциала электромагнитного поля.

96-4. Что называют калибровочными градиент-преобразованиями электродинамических потенциалов? Какие величины электромагнитного поля они не изменяют?

97-5. Сформулируйте условие калибровки Лоренца.

98-6. Запишите дифференциальные уравнения для электродинамических потенциалов, которые получаются при использовании калибровки Лоренца.

99-7. Что такое укороченные калибровочные градиент-преобразования?

100-8. Сформулируйте условия калибровки Кулона.

101-9. Однородный проводящий шар находится в однородном переменном во времени магнитном поле. Какую калибровку целесообразно применить при решении этой задачи с помощью электродинамических потенциалов?