Т е о р е м а 8.3

Промені, які вихо­дять з фокуса параболи, після дзеркального від­биття від неї, ідуть па­ра­лельно до її осі.

Доведення.

Розглянемо пара­бо­лу (рис. 4.35). Нехай про­мінь, який виходить з фокуса , зустрічається з параболою в точці . Покажемо, що, відбившись від неї, він піде вздовж прямої, паралельної до осі параболи. Проведемо через точку дотичну МА до параболи і до її осі. Покажемо, що , де - кут падіння променя FM, а - кут його відбиття. Оскільки , то досить довести, що трикутник рівно­бедрений, тобто .

У §7 при виведенні кано­ніч­_­­ного рівняння параболи бу­ло по­ка­за­но, що Запишемо рівняння дотичної до параболи в точці :

Точка її перетину з віссю . Тоді

Отже, звідки випливає, що , що й треба було довести.

Оптичні властивості ліній 2-го порядку широко використовуються в оптиці, зокрема, в параболічних прожекторах, при конструюванні антен і телескопів. А саме, для побудови оптичних приладів використовуються дзеркала, що мають форму поверхонь, які можна утворити обертанням лінії другого порядку навколо її осі.

Якщо джерело світла помістити в один із фокусів еліптичного дзеркала, то після відбиття його промені зберуться в другому фокусі (рис. 4.36).

Якщо джерело світла помістити в фокусі гіперболічного дзеркала, то після відбиття його промені будуть мати такий напрям, ніби вони виходять з другого фокуса (рис. 4.37).

Якщо джерело світла помістити в фокусі параболічного дзеркала, то після відбиття його промені стануть паралельними (рис. 4.38).

Приклад. Переріз дзеркала автомобільної фари площиною, що проходить через його вершину паралельної до осі, має форму параболи. Діаметр фари 20 см, глибина 10 см. Знайти положення фокуса.

Розв’язання.

Щоб знайти відстань фокуса від вершини параболи, складемо її рів­нян­ня. Для цього виберемо прямокутну систему координат так, щоб вісь пара­боли збігалась з віссю абсцис, а верши­на була в початку координат (рис. 4.39).

Рівняння параболи при цьому буде мати вигладя

У вибраній системі координат точка А параболи матиме координати . Підставивши координати точки А в рівняння праболи, дістанемо , а звідси .

Отже, фокусом параболи буде точка .

§ 9. Діаметри ліній 2-го порядку

Означення 9.1. Хордою лінії 2-го порядку називається відрізок, що сполучає будь-які дві її точки (рис. 4.40).

Рис. 4.40

Означення 9.2. Діаметром лінії 2-го порядку називається геометричне місце точок, які є серединами паралельних між собою хорд цієї лінії.

Розглянемо криву 2-го порядку, задану загальним рівнянням

. (1)

Виведемо рівняння її діаметра.

Нехай напрям паралельних хорд даної кривої задається вектором і нехай – середина однієї з цих хорд (рис. 4.41).

Параметричні рівняння прямої запишемо у вигляді

(2)

Точки і належать цій прямій. Нехай точці відповідає параметр , а точці – . Тоді їх координати

.

Точка М – середина відрізка , тому

;

звідки ,

,

звідки .

Оскільки і одночасно не дорівнюють нулю, то звідси випливає, що . Але і – це параметри точок перетину прямої (2) з кривою (1). Як показано в § 6, вони повинні бути коренями квадратного рівняння

.

Тому , отже, , тобто

,

або

. (4)

Таким чином, координати середин хорд, паралельних до вектора , задовольняють рівняння (4), яке є рівнянням 1-го порядку.

Отже, діаметром лінії 2-го порядку є деяка пряма. Змінивши Х на х, а У на у, матимемо

. (5)

Це – рівняння діаметра кривої (1), що є геометричним місцем середин хорд, паралельних вектору . Воно називається рівнянням діаметра, спряженого хордам напрямку .

Щоб побудувати діаметр, спряжений хордам напряму , треба провести дві хорди даного напряму і через їх середини провести пряму (рис. 4.42).

Складемо рівняння діаметрів еліпса, гіперболи і параболи, заданих рівняннями в канонічній формі.

1. Еліпс.

Рівняння еліпса

Рівняння діаметра

;

;

.

Отже, всі діаметри еліпса проходить через його центр.