Теоремы сложения и умножения вероятностей

События называются несовместными, если они не могут появиться вместе в одном опыте.

Если одно из событий произойдет обязательно, то такие события образуют полную группу.

Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из рассматриваемых событий.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

Вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий;

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице. Произведением событий называется событие, состоящее в появлении всех из рассматриваемых событий.

Вероятность события B, вычисленная при условии, что произошло событие А, называется условной вероятностью события В относительно события А. Эта вероятность обозначается или .

Теорема умножения вероятностей двух событий.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго относительно первого:

.

Эта теорема обобщается на любое конечное число событий:

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляют в предположении, что все предыдущие события уже наступили;

.

Если появление одного из событий не влияет на вероятность появления другого, то такие события называются независимыми.

Для двух независимых событий

.

Несколько событий называются попарно независимыми, если каждые два из них независимы.

События называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется при наступлении других событий, одного или нескольких.

Вероятность произведения нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению их вероятностей:

События называются совместными, если они могут появиться одновременно в одном опыте.

Теорема сложения вероятностей двух совместных событий:

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. Например, для трех совместных событий

Событие называется противоположным событию А, если оно состоит в непоявлении события А.

Противоположные события должны одновременно удовлетворять двум соотношениям

1. - достоверное событие;

2. ; где - пустое множество.

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

Вероятность появления хотя бы одного события.

Вероятность появления хотя бы одного события из событий то есть вероятность суммы независимых в совокупности событий вычисляется по формуле:

.

Если все события имеют одинаковую вероятность, равную , то вероятность появления хотя бы одного из этих событий определяется по формуле , где

Формула полной вероятности.

Формулы Байеса.

Если некоторое событие А может произойти с одним из n попарно несовместных событий (гипотез) образующих полную группу событий, то для определения вероятности этого события может быть использована формула полной вероятности

, где

- вероятность события ;

- условная вероятность события А, при каждой из гипотез

Для определения вероятности события при условии, что произошло событие А, используются формулы Байеса.

где ,

р(А) – полная вероятность события А.

Формулы Бернулли и Пуассона.

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. Рассмотрим независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события одинакова.

Формула Бернулли.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит ровно m раз (безразлично, в какой последовательности), равна ,

где

вероятность того, что в n испытаниях событие наступит:

а) менее m раз; б) более m раз; в) не менее m раз; г) не более m раз, - находят соответственно по формулам:

а)

б)

в)

г)

При больших n и малых p вычисления по формуле Бернулли затруднены. В этих случаях обычно используется формула Пуассона

Дискретные случайные величины.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять любые заранее неизвестные значения. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (счетным).

Законом распределения вероятностей (рядом распределения) дискретной случайной величины называется последовательность возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей, причем

X			…
p			…

Ряд распределения можно задать графически, откладывая на горизонтальной оси значения X, а на вертикальной – соответствующие им значения вероятностей.

Графическое представление ряда распределения называется многоугольником распределения.

Для дискретной случайной величины можно ввести понятие функции распределения , которая равна вероятности случайного события, состоящего в том, что дискретная случайная величина X примет одно из возможных значений, меньших некоторого значения x, т.е.

.

Математическое ожидание и дисперсия.

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности:

Если дискретная случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то

причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1. где С – произвольная постоянная величина.

2. если

- взаимно независимые случайные величины.

Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

3.

4. , где X – дискретная случайная величина;

n -число испытаний с биномиальным законом распределения;

Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины X – числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна .

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной

величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

.

Дисперсию удобно вычислять по формуле

Дисперсия обладает следующими свойствами.

1. где С – произвольная постоянная.

2. где - независимые случайные величины.

3. , где X –дискретная случайная величина с биномиальным законом распределения; n – число испытаний; - вероятность появления и вероятность непоявления события в одном испытании соответственно.

4. где s (X) – среднее квадратичное отклонение.

Непрерывные случайные величины.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина x примет значение, меньшее x, то есть

.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1.

2. ,

3. ,

4. ,

5. .

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения:

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а; в), определяется равенством

.

Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения

.

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1. ,

2. .

Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а; в), то .

Математическое ожидание и дисперсия.

Мода и медиана.

Средним значением или математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х называется значение интеграла

, где - плотность вероятности.

Дисперсией непрерывной случайной величины Х называется значение интеграла

Для определения дисперсии может быть также использована формула .

Модой непрерывной случайной величины Х называется такое значение этой величины, плотность вероятности которого максимальна.

Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое её значение, при котором выполняется равенство

.

Равномерное распределение.

Непрерывная случайная величина называется равномерно распределенной на отрезке [ а; в ], если её плотность вероятности имеет вид

.

Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной случайной величины определяются выражениями

.

Показательное распределение.

Распределение непрерывной случайной величины Х называется показательным (экспоненциальным), если плотность вероятности этой величины описывается функцией

где λ – положительное число.

Соответственно, функция распределения вероятностей имеет вид

Математическое ожидание и дисперсия показательного распределения соответственно равны:

Нормальное распределение.

Случайная величина Х распределена по нормальному закону, если её функция плотности распределения вероятностей имеет вид

,

где - математическое ожидание;

– среднее квадратичное отклонение.

Вероятность попадания случайной величины в интервал (а; в) находится по формуле

где - функция Лапласа.

Значения функции Лапласа для различных значений Z приведены в Приложении.

Функция Лапласа нечетная, то есть

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа ε, .

Мода и медиана нормального распределения соответственно равны:

Законы распределения двумерной случайной величины.

Двумерной называют величину (X; У), возможные значения которой есть пары чисел (x; у). Случайные величины X и У, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.

Функцией распределения вероятностей двумерной случайной величины называют функцию , определяющую для каждой пары чисел (x; у) вероятность того, что Х примет значение, меньшее х, и при этом У примет значение, меньшее у:

Для дискретной случайной величины распределение может быть задано в виде таблицы распределения, в которой каждой паре значений ставится в соответствие вероятность появления этой пары

.

Плотностью совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины называют вторую смешанную производную от функции распределения:

.

Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины выражается через двумерную плотность вероятности по формуле

.

Вероятность совместного появления пары дискретных случайных величин можно записать в виде

где - условные вероятности.

Для непрерывных случайных величин плотность вероятности записывается в виде

Числовые характеристики системы двух случайных величин.

Среди числовых характеристик двумерной случайной величины важнейшими являются условное математическое ожидание и ковариация.

Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины У при Х=х называют сумму произведений возможных значений У на их условные вероятности

Для непрерывных случайных величин условное математическое ожидание определяется интегралом:

Условное математическое ожидание называется также регрессией величины У на Х.

Аналогично определяется регрессия Х на У:

для дискретной случайной величины

;

для непрерывной случайной величины

.

Ковариацией или корреляционным моментом

случайных величин Х и У называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от их математических ожиданий:

Коэффициентом корреляции случайных величин Х и У называется отношение ковариации к произведению средних квадратичных отклонений этих величин:

Линейной средней квадратической регрессией У на Х называется функция вида

где

С примерами решения задач по теории вероятностей Вы можете познакомиться в книге: «Методические указания к проведению практических занятий по теории вероятностей». Челябинск: ЧИ МГУК, 1999. - 144с.