Достаточное условие точки перегиба

Теорема. Пусть функция y = f(х) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки . Тогда, если в пределах указанной окрестности f’'() имеет разные знаки слева и справа от точки , то график y=f(х) имеет перегиб в точке М(, f()).

Доказательство.

Из того, что f’’() слева и справа от точки , имеет разные знаки, на основании теоремы о направлении выпуклости заключаем, что направление выпуклости графика функции слева и справа от точки являются различными. Это и означает наличие перегиба в точке М(,f()). Следует заметить. Что теорема остается верной, если у=f(x) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки , за исключением самой точки , и существует касательная к графику функции в точке М. Тогда, если в пределах указанной окрестности f’’(x) имеет разные знаки слева и справа от точки , то график функции у = f(x) имеет перегиб в точке М(,f()).