Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий B ₁, B ₂, …, B_n, образующих полную группу. Так как заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Тогда вероятность события A вычисляется по формуле полной вероятности:

или

,

где P (B_i) – вероятность гипотезы B_i;

P_Bi (A) – условная вероятность события A при этой гипотезе.

Если до испытания вероятности гипотез были P (B ₁), P (B ₂), …, P (B_n), а в результате испытания появилось событие A, то с учетом этого события «новые», т. е. условные, вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса:

.

Формула Байеса дает возможность произвести переоценки вероятностей гипотез B ₁, B ₂, …, B_n после того, как стало известно, что событие наступило.

Тест 1.18. Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0,04 и 0,13 – в период экономического кризиса. Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Количество гипотез события «случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит», равно:

1) 2;

2) 4;

3) 0;

4) 1;

5) 3.

Пример 1.38. Электролампы изготовляются на двух заводах. Первый завод производит 60% общего количества электроламп, второй - 40%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго - 80%. В магазин поступает продукция обоих заводов. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется стандартной?

Решение

Обозначим через A событие, состоящее в том, что куплена стандартная лампа, B ₁ – «лампа изготовлена на первом заводе», B ₂ – «лампа изготовлена на втором заводе».

Из условия следует, что

; ;

; .

По формуле полной вероятности имеем:

.

Ответ: 0,74.

Тест 1.19. Издательство разослало рекламные материалы на новый учебник по бухгалтерскому учету, которые получили 80% профессоров, читающих этот курс в различных высших учебных заведениях. Отобрали эту книгу и приняли ее для преподавания 30% профессоров, получивших рекламные материалы и 10% не получивших их. Вероятность того, что случайно выбранный профессор вуза принял этот учебник для преподавания, равна:

1) 0,8 + 0,3 + 0,1;

2) ;

3) 1,1 · 0,1;

4) 0,8 · 0,1 + 0,3 · 0,1;

5) 0,8 · 0,3 + 0,2 · 0,1.

Пример 1.39. В студенческой группе 70% – юноши, 20% юношей и 40% девушек имеют сотовый телефон. После занятий в аудитории был найден кем-то забытый телефон. Какова вероятность того, что он принадлежал юноше?

Решение

Пусть событие A состоит в том, что после занятий в аудитории был найден кем-то забытый телефон. Тогда в качестве гипотез примем события B ₁ – «найденный телефон принадлежал юноше» и B ₂ – «найденный телефон принадлежал девушке». Из условия следует, что

; ;

; .

В соответствии с формулой Байеса находим искомую вероятность:

0,54.

Ответ: 0,54.

Тест 1.20. Медицинский тест на возможность вирусного заболевания дает следующие результаты:

1. Если проверяемый болен, то тест даст положительный результат с вероятностью 0,92.

2. Если проверяемый не болен, то тест может дать положительный результат с вероятностью 0,04.

Поскольку заболевание редкое, то ему подвержены только 0,1% населения. Предположим, что некоторому случайно выбранному человеку сделан анализ и получен положительный результат. Вероятность того, что человек действительно болен, равна:

1) ;

2) ;

3) 0,001 + 0,04;

4) ;

5) .

Пример 1.40. В коробке 3 новых и 3 уже использованных теннисных мяча. Для первой игры наудачу берут из коробки 2 мяча и затем их возвращают в коробку. Какова вероятность для второй игры из этой коробки наудачу вынуть два новых мяча?

Решение

Введем событие A - «вынуть два новых мяча для второй игры». Ситуация перед второй игрой описывается следующими взаимоисключающими возможностями:

· B ₁ - «в коробке 1 новый мяч», если в первый раз играли двумя новыми мячами;

· B ₂ - «в коробке 2 новых мяча», если играли одним старым и одним новым мячами;

· B ₃ - «в коробке 3 новых мяча», если играли двумя старыми мячами.

События B ₁, B ₂, B ₃ образуют полную группу несовместных событий, при этом:

Для контроля можно найти сумму вероятностей гипотез, она должна равняться единице: .

Далее имеем: ; ; .

Теперь, используя формулу полной вероятности, найдем:

Ответ: 0,08.

Тест 1.21. На химическом заводе установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал срабатывает с вероятностью 0,95. Звуковой сигнал может сработать случайно и без аварийной ситуации с вероятностью 0,02. Реальная вероятность аварийной ситуации равна 0,004. Предположим, что звуковой сигнал сработал. Вероятность реальной аварийной ситуации находится с помощью формулы:

1) полной вероятности;

2) Байеса.

Вопросы для самоконтроля

1. Что называют испытанием?

2. Что называют событием?

3. Какое событие называют достоверным в данном испытании?

4. Какое событие называют невозможным в данном испытании?

5. Какое событие называют случайным в данном испытании?

6. Что называют элементарным событием?

7. Какие события называют совместными в данном испытании?

8. Какие события называют несовместными в данном испытании?

9. Какие события образуют полную группу событий?

10. Какие события считают равновозможными?

11. Какие события называют противоположными?

12. Что называют суммой двух событий?

13. Что называют произведением двух событий?

14. Что называют перестановками?

15. По какой формуле вычисляют число перестановок из n различных элементов?

16. Что называют размещениями?

17. По какой формуле вычисляют число размещений из n различных элементов по m элементов?

18. Что называют сочетаниями?

19. По какой формуле вычисляют число сочетаний из n элементов по m элементов?

20. Что называют вероятностью события?

21. Чему равна вероятность достоверного события?

22. Чему равна вероятность невозможного события?

23. В каких пределах заключена вероятность любого события?

24. Что такое частота события?

25. Какое определение вероятности называют статистическим?

26. Какими свойствами обладает статистическая вероятность?

27. Как определяется геометрическая вероятность в общем случае?

28. Чему равна вероятность суммы двух совместных событий?

29. Чему равна вероятность суммы двух несовместных событий?

30. как формируется теорема о вероятности суммы n несовместных событий.

31. Чему равна вероятность произведения двух независимых событий?

32. Чему равна вероятность произведения двух зависимых событий?

33. Что такое условная вероятность?

34. Как найти вероятность появления хотя бы одного из n независимых событий, имеющих одинаковые вероятности?

35. Какие события называются гипотезами?

36. Какие события образуют полную группу событий?

37. При каких условиях применяется формула полной вероятности?

38. Как изменяются вероятности гипотез, если известно, что событие произошло?

Ответы на тестовые задания