Розв'язування стереометричних задач координатним методом

Правило-орієнтир координатного методу таке саме, що і в планіметрії. Після його повторення можна проілюструвати застосування координатного методу в стереометрії прикладом розв'язування такої задачі.

Задача 1. У сферу вписано правильну чотирикутну піраміду з двогранним кутом при основі α. Знаючи, що площа сфери дорівнює S, знайти площу основи піраміди.

рис. 5.

Розв'язання. У цьому випадку зручно вибрати систему координат так, щоб початок її був у центрі М основи, а додатні напрямки осей х, у, z збігалися відповідно з напрямками променів МВ, МС, МS, на яких лежать діагоналі основи і висота піраміди (рис.5). Позначимо висоту основи як а.

У вибраній системі координат

Аплікату точки S визначимо з прямокутного трикутника SМК, де , . Отже, .

Аплікату z центра О сфери визначимо із співвідношення ОМ ²+ МВ ²= ОВ ², враховуючи, що ОВ=ОS, Отже, маємо . Звідси .

Радіус описаного кола

.

Відомо, що , або . Із цієї рівності визначимо площу основи піраміди SABCD:

Вектори в стереометрії.

Перш ніж розглядати цю тему, потрібно запропонувати учням повторити за підручником навчальний матеріал стосовно векторів на площині, зокрема пригадати: означення вектора, його модуля, рівних векторів, координат вектора, властивість рівних векторів, заданих координатами, правила знаходження вектора-суми, різниці двох векторів, добутку вектора на число, формулювання векторної рівності, означення скалярного добутку і його властивість через добуток модулів і кут між ними.

Основні поняття векторів в просторі:

1. Вектором називають напрямлений відрізок і позначають:

2. Нехай вектор має початком і кінцем точки А ₁(х ₁; у ₁; z ₁), А₂ (х₂; у₂; z₂).

Координатами вектора називають числа . Вектор , заданий координатами, позначають або

3. Координати нульового вектора дорівнюють нулю

4. Два вектори називають рівними, якщо вони суміщаються паралельним перенесенням.

5. Теорема. Рівні вектори мають рівні відповідні координати і, навпаки, якщо у векторів відповідні координати рівні, то вектори рівні.

6. Вектори називають однаково напрямленими, якщо півпрямі АВ і СВ однаково напрямлені

7. Абсолютною величиною (або модулем) вектора називають довжину відрізка, що зображує вектор. Позначають

8. Теорема. Абсолютна величина вектора

9. Сумою векторів і називають вектор

10. Для будь-яких векторів

11. Хоч якими є точки А, В і С, виконується векторна рівність

12. Різницею векторів і називають такий вектор , який у сумі з вектором дає вектор . Звідси

13. Добутком вектора на число λ називають вектор

14. Два відмінних від нульового вектори називають колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих

15. Теорема. У колінеарних векторів відповідні координати пропорційні і, навпаки, якщо у двох векторів відповідні координати пропорційні, то вектори колінеарні.

16. Скалярним добутком векторів і називають число а₁b₁+а₂b₂+а₃b₃

17. Теорема. Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх абсолютних величин на косинус кута між векторами

18. Для будь-яких векторів , ,

19. Будь-який вектор , можна записати у вигляді ,де , , , — одиничні вектори (орти).

Література:

1. Бевз Г.П. Методика розв'язування стереометричних задач: Посібник для вчителів. - К.: Рад. шк.. 1988. — 192 с.

2. Бевз Г.П. Методика викладання математики: Навч. Посібник. - К.: Вища шк., 1989.-367 с.

3. Преподавание алгебры и геометрии в школе: Пособие для учителей / Сост. О. А. Боковнев. - М.: Просвещение, 1982. - 223 с.

4. Слєпкань З.І. Методика викладання математики: Навч. Посібник. – К.: Вища шк.1998.