Логарифмический тренд и его свойства

Если изучаемый процесс приводит к замедлению роста ка­кого-то показателя, но при этом рост не прекращается, не стремится к какому-либо ограниченному пределу, то гипербо­лическая форма тренда уже не подходит. Тем более не подходит парабола с отрицательным ускорением, по которой замедляю­щийся рост перейдет со временем в снижение уровней. В указан­ном случае тенденция изменения лучше всего отображается логарифмической формой тренда: _i = а + b ln t_i.

Логарифмы возрастают значительно медленнее, чем сами числа (номера периодов t_i), но рост логарифмов неограничен. Подбирая начало отсчета периодов (моментов) времени, мож­но найти такую скорость снижения абсолютных изменений, ко­торая наилучшим образом отвечает фактическому временному ряду.

Примером тенденций, соответствующих логарифмическому тренду, может служить динамика рекордных достижений в спорте: известно, что увеличение на 1 см рекорда прыжка в вы­соту или снижение на 0,1 с времени бега на 200 или 400 м требует все больших и больших затрат времени, каждый рекорд дается все большим и большим трудом. В то же время нет и «вечных» рекордов, все спортивные достижения улучшаются, но медлен­нее и медленнее, т.е. по логарифмическому тренду. Нередко та­кой же характер динамики присущ на отдельных этапах развития динамике урожайности или валового сбора какой-то культуры в данном регионе, пока новое агротехническое достижение не при­даст снова тенденции ускорения, что иллюстрирует рис. 4.5.

Рис. 4.5. Динамика валового сбора чая в Китае

Конечно, характер тенденции маскируется колебаниями, но видно, что рост валового сбора замедляется. Это показывают и средние уровни сбора чая:

за 1978-1983 гг. средний сбор равен 333 тыс. т;

за 1984-1989 гг. средний сбор равен 483 тыс. т, рост на 150 тыс. т;

за 1990-1994 гг. средний сбор равен 566 тыс. т, рост на 83 тыс. т.

На рис. 4.5 для убедительности нанесен и логарифмический тренд. Заметны также 5-6-летние циклические колебания валового сбора чая.

Основные свойства логарифмического тренда:

1. Если b >0, то уровни возрастают, но с замедлением, а если b< 0, то уровни тренда уменьшаются, тоже с замедлением.

2. Абсолютные изменения уровней по модулю всегда умень­шаются со временем.

3. Ускорения абсолютных изменений имеют знак, противо­положный самим абсолютным изменениям, а по модулю посте­пенно уменьшаются.

4. Темпы изменения (цепные) постепенно приближаются к 100% при t .

Можно сделать общий вывод о том, что логарифмический тренд отражает, так же как и гиперболический тренд, посте­пенно затухающий процесс изменений. Различие состоит в том, что затухание по гиперболе происходит быстро при приближе­нии к конечному пределу, а при логарифмическом тренде зату­хающий процесс продолжается без ограничения гораздо медленнее.