Решение. а) Определим параметр с из условия :

а) Определим параметр с из условия :

, т е. .

б) Найдем функцию распределения :

1) если , то ;

2) если , то ;

3) если , то .

Следовательно

в)

г) ;

;

.

Задача 8. Случайная величина имеет нормальное распределение с выборочным средним и средним квадратическим отклонением . Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания , если объем выборки и задана надежность (доверительная вероятность) оценки .

Решение. Воспользуемся рабочей формулой

,

где точность оценки .

По таблице функции Лапласа (см. приложение) из соотношения найдем . Определим точность оценки

.

Следовательно, доверительный интервал будет

т. е. .

Отв.: .

Замечание. Так как – постоянная величина, то было бы ошибочным написать , ибо либо заключена в этом интервале (тогда событие достоверно и вероятность равна единице), либо нет (это событие невозможно, вероятность его равна нулю).

Надежность указывает, сто если произведено достаточное число выборок, то 95% из них определяет такие доверительные интервалы, в которых параметр действительно заключен; лишь в 5% случаев он может выйти за границы доверительного интервала.