Методы Рунге-Кутта

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, имеет вид

. (7.1)

Решением дифференциального уравнения (7.1) называется функция , подстановка которой в уравнение обращает его в тождество: . График решения называется интегральной кривой. Например, решением уравнения является функция при любом значении произвольной постоянной С.

Задача Коши для дифференциального уравнения (7.1) состоит в том, чтобы найти решение уравнения (7.1), удовлетворяющее начальному условию

. (7.2)

Пару чисел называют начальными данными. Решение задачи Коши называется частным решением уравнения (7.1) при условии (7.2). Например, частным решением задачи Коши

,

является функция . Частному решению соответствует одна из интегральных кривых, проходящая через точку .

Численное решение задачи Коши (7.1), (7.2) состоит в том, чтобы получить искомое решение в виде таблицы его приближенных значений для заданных значений аргумента на некотором отрезке . Точки называют узловыми точками, а множество этих точек - сеткой на отрезке . Будем использовать равномерную сетку с шагом :

; ; .

Приближенные значения численного решения задачи Коши в узловых точках обозначим через : . Для любого численного метода решения задачи Коши начальное условие (7.2) выполняется точно, т. е. .

Величина погрешности численного метода решения задачи Коши на сетке отрезка оценивается величиной

, ,

т. е. расстоянием между векторами приближенного решения и точного решения на отрезке по m-норме. Когда шаг стремится к нулю, погрешность также стремится к нулю.

Численные методы решения задачи Коши на равномерной сетке отрезка с шагом являются методами Рунге-Кутта, если, начиная с данных , решение ведется по следующим рекуррентным формулам:

(7.3)

Метод называют методом Рунге-Кутта порядка , если он имеет -й порядок точности по шагу на сетке. Порядок точности достигается с помощью формул (7.3) при определенных значениях коэффициентов и ; всегда полагают равным нулю.

Методы Эйлера и Эйлера-Коши можно назвать, соответственно, методами Рунге-Кутта 1-го и 2-го порядков.

Графиком приближенного решения является ломаная, последовательно соединяющая точки . С увеличением порядка численного метода звенья ломаной приближаются к ломаной, образованной хордами интегральной кривой .

Практическая оценка погрешности решения, найденного на сетке с шагом , в точке производится с помощью правила Рунге:

, (7.4)

где - порядок точности численного метода.

Если требуется решить дифференциальное уравнение с некоторой заданной точностью , следует проводить вычисления с уменьшающимся вдвое шагом до достижения требуемой точности, т. е. до выполнения условия , . (7.5)