Теорема додавання ймовірностей несумісних подій

Сформулюємо теорему додавання ймовірностей несумісних подій.

Теорема 1. Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій, байдуже якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

.

Дійсно, нехай - загальне число всіх можливих елементарних результатів випробувань, – число результатів, що сприяють появі події А, – число результатів, що сприяють появі події В. Тоді число результатів, що сприяють появі або А, або В, дорівнює .

Отже, , і теорема доведена.

Наслідок. Ймовірність появи однієї з декількох попарно несумісних подій, байдуже, якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

.

Дійсно, взявши для простоти та позначивши , маємо:

.

Наприклад. Нехай ймовірність того, що завтра буде сонячно, дорівнює 0,4, що похмуро – 0,3; ймовірність випадання снігу – 0,2, а дощу – 0,1. Потрібно знайти ймовірність того, що завтра не буде опадів.

Для розв’язання цієї задачі позначимо через А подію, яка полягає в тому, що завтра буде сонячно, а через В – похмуро. Згідно з вище доведеним, маємо: .

Теорема 2. Сума ймовірностей подій , які утворюють повну групу несумісних подій, дорівнює одиниці:

.

Дійсно, подія є достовірною. Тому . Оскільки події несумісні, то

, що і доводить теорему 2.

Нагадуємо, що протилежним називаються дві єдино можливі події, які утворюють повну групу несумісних подій: та .

Із теореми 2 випливає, що сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці:

.

Прийнято позначати , ; отже, .

В теорії ймовірностей приймають такий “принцип практичної неможливості малоймовірних подій”: якщо випадкова подія має дуже малу ймовірність, то практично можна вважати, що в єдиному випробуванні ця подія не з’явиться.

Досить малу ймовірність, при якій (в даній задачі) подію модна вважати практично неможливою, називають рівнем значущості. Рівень значущості, що дорівнює 0,01, називають однопроцентним, 0,02 – двохпроцентним, і т.д.

Якщо подія має ймовірність, близьку до нуля, то подія має ймовірність, близьку до одиниці. Отже, якщо випадкова подія має ймовірність, дуже близьку до одиниці, практично можна вважати, що в одиничному випробуванні ця подія з’явиться.