Определение 5.1

Производной функции в точке называется конечной предел при отношения приращения функции к приращению аргумента, то есть

, или

Для обозначения производной используются символы: , , .

Геометрически производная функции в точке означает тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке по отношению в оси О (см. рис.5.1).

Действительно, отношение равно тангенсу угла между хордой АВ и отрезком АС, но при стремлении к нулю точка В, двигаясь вдоль кривой, приближается к точке А и предельное положение хорды АВ и будет совпадать с положением касательной к графику функции в точке .

Для разъяснения физического (механического) смысла производной рассмотрим конкретную функцию , где означает пройденный путь к моменту времени . Задавая приращение времени , мы получим приращение пути . Очевидно, отношение представляя собой среднюю скорость движения на промежутке времени [ ]. Тогда обозначает мгновенную скорость движения в момент времени . Распространяя физический смысл производной на случай произвольной функции, можно сказать, что производная означает скорость изменения функции в точке .

Теорема 5.1

Если функция = имеет в точке производную , то она в этой точке непрерывна.

Действительно,

(5.1)

+ , где - бесконечно малая функция (5.2)

Откуда + (5.3)

устремим , тогда , то есть выполняется определение (4.2)

Следствие

Если функция = имеет производную в каждой точке интервала (а, b), то она на этом интервале непрерывна.