Билет18. Непрерывность и точки разрыва функции

Функция у = f (х) называется непрерывной

в точке х₀, если в этой точке бесконечно малому

приращению аргумента х-х₀= х соответствует

бесконечно малое приращение функции

у—у₀ = у, т. е. если

lim y = lim [ f (х₀ + х) – f (х₀)] = 0.

Этому определению равносильно следующее:

Функция f (х) называется непрерывной в точке

х₀, если при х—> х₀ предел функции существует

и равен ее частному значе­нию в этой точке,

т. е. если lim f(х) = f (x₀).

x->х₀

Для непрерывности функции f(х) в точке х₀

необходимо и достаточно выполнение

следующих условий:

1)функция должна быть определена в некотором

интервале, содержащем точку х_0.(т. е. в самой

точке х₀ и вблизи этой точки);

2) функция должна иметь одинаковые

односторонние пределы

lim f (х) = lim f (x);

x->х₀ -0 x->х₀ +0

3) эти односторонние пределы должны

быть равны f (x₀).

Функция f (x) называется разрывной в

точке х₀, если она опре­делена в сколь

угодно близких точках, но в самой точке

х₀ не удовлетворяет хотя бы одному из

условий непрерывности.

Разрыв функции f(х) в точке х₀ называется

конечным, или 1-го рода, если существуют

конечные односторонние пределы

lim f(x) и lim f(х).

x-> х₀ -0 x-> х₀ +0

Все другие случаи разрыва функции

называются разрывами- 2-го-рода; в

частности, если хотя бы один из указанных

односторонних пределов окажется бесконечным,

то и разрыв функции называется бесконечным.

Скачком функции f(х) в точке разрыва х₀

называется раз­ность ее односторонних

пределов lim f(x) и lim f(х) если они различны.

x-> х₀ -0 x-> х₀ +0

Если точка х₀ является левой или правой

границей области определения функции f(х),

то следует рассматривать значения функции

соответственно только справа или только

слева от этой точки и в самой точке. При этом:

1) если граничная точка х₀ входит в область

определения функции, то она будет точкой

непрерывности или точкой раз­рыва функции,

смотря по тому, будет ли предел функции

при х —>х₀ изнутри ее области определения

равен или не равен f(х₀);

2) если граничная точка х₀ не входит в область

определения функции, то она является точкой

разрыва функции.

Функция называется непрерывной в некотором

интервале, если она непрерывна во всех точках

этого интервала.