Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций

Формулы dy=y_x^'*dx и dy=y_u^'*du Сравним и видим, что первый дифференциал функции y=f(x) определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента. Это свойство дифференцирования наз-ют инвариантностью формы первого дифференциала

Правила дифференцирования:

1. (u±v)’ = u’±v’;

2. (uv) = u’v+uv’, в частности (cu)’ = cu’;

3. (u/v)’ = (u’v-uv’)/v², в частности (c/v)’ = -(cv’)/v²;

4. y’_x = y’_u*u’_x, если y = f(u), u = ф(x);

5. y’_x = 1/x’_y, если y = f(x), x = ф(y).

.

14. Частная производная. Производные сложной функции Пусть у = ƒ(и) и u = φ(х), тогда у = ƒ(φ(х)) — сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом х. Теорема 20.5. Если функция u = φ(х) имеет производную u'х в точке х, а функция у = ƒ(u) имеет производную у'u в соответствующей точке u = φ(х), то сложная функция у = ƒ(φ(х)) имеет производную у'_х в точке х, которая находится по формуле у'_х = у'_u-u'_х. Для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Если функция задана уравнением у = ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция). Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y) = 0, не разрешенного относительно у. Всякую явно заданную функцию у = ƒ(х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у = 0, но не наоборот. Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1 = 0 или 2у-х+у = 0). Если неявная функция задана уравнением F(x; у) = 0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'. Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

Частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.

В явном виде частная производная функции f определяется следующим образом:

15. Свойства непрерывных функций на отрезке. Теорема 19.4 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Изображенная на рисунке 123 функция у = ƒ(х) непрерывна на отрезке [а;b], принимает свое наибольшее значение М в точке х₁, а наименьшее m — в точке х₂. Для любого хє[а;b] имеет место неравенство m≤ƒ(х)≤М. Следствие 19.1. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке. Теорема 19.5 (Больцано-Коши). Если функция у = ƒ(х) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения ƒ(a) = А и ƒ(b) = В, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В. Следствие 19.2. Если функция у = ƒ(х) непрерывна на отрезке [a;b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [a; b] найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция ƒ(х) обращается в нуль: ƒ(с) = 0.