Монотонные функции. Обратная функция. Предел функции в точке

Возрастающие, невозрастающие, убыв-е, неубыв-е функции на множестве D1 наз-ся монотонными на этом множистве. Пусть задана функция у = ƒ(х) с областью определения D и множеством значений Е. Если каждому значению уєЕ соответствует единственное значение хєD, то определена функция х = φ(у) с областью определения Е и множеством значений D. Такая функция φ(у) называется обратной к функции ƒ(х) и записывается в следующем виде: х = φ(y) = f^-1(y). Про функции у = ƒ(х) и х = φ(у) говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию х = φ(у), обратную к функции у = ƒ(х), достаточно решить уравнение ƒ(х) = у относительно х (если это возможно). Примеры:

1. Для функции у = 2х обратной функцией является функция х = у/2;

Предел функции в точке. Пусть функция у = ƒ(х) определена в некоторой окрестности точки х₀, кроме, быть может, самой точки х₀. Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне). Число А называется пределом функции у = ƒ(х) в точке x₀ (или при х→х₀), если для любой последовательности допустимых значений аргумента x_n, nєN (x_n ≠ 0), сходящейся к х₀ последовательность соответствующих значений функции ƒ(х_n), nєN, сходится к числу А, т.е. lim(f(x_n)) = A, n→∞. Геометрический смысл предела функции означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке х₀, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А. Определение 2 (на «языке ε-δ», или по Коши). Число А называется пределом функции в точке х₀ (или при х→х₀), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ, что для всех х ≠ х₀, удовлетворяющих неравенству |х-х₀|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε. Геометрический смысл предела функции: если для любой ε-окрестности точки А найдется такая δ-окрестность точки х₀, что для всех х ≠ х₀ из этой δ-окрестности соответствующие значения функции ƒ(х) лежат в ε-окрестности точки А. Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ = δ(ε).

5.Предельный переход в неравенствах. Теорема Вейерштрасса. Рассмотрим последовательности {х_n}, {у_n} и {z_n}. Теорема 1. Если lim(x_n) = a, lim(y_n) = b и, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство х_n≤ у_n, то a≤b. Теорема 2. Если lim(x_n) = a, lim(y_n) = a и справедливо неравенство x_n≤z_n≤y_n (начиная с некоторого номера), то lim(z_n) = a. Признак существования предела последовательности: теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел. Для всех указанных пределов: n→∞.

Первый и второй замечательные пределы. 5.1 При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел [ lim(sin(x)/x) = 1 при х→0] [17.11] называемый первым замечательным пределом. Читается: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю. [!] Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла <MOB через х (см. рис. 113). Пусть 0<х<3.14/2. На рисунке |АМ| = sin(x), дуга MB численно равна центральному углу х, |ВС| = tg(x). Очевидно, имеем S_∆MOB <S_сект.MOB<S_∆COB. На основании соответствующих формул геометрии получаем ½sin(x)<½x<½tg(x). Разделим неравенства на ½sin(x)>0, получим 1<x/sin(x)<1/cos(x) или cos(x)<sin(x)/x<1. Так как lim(cos(x)) = 1 и lim(1) = 1 при х→0, то по признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов получаем (17.11). При х<0 ничего не изменится. 5 .2 Как известно, предел числовой последовательности [x_n = (1+1/n)ⁿ, nєN, имеет предел, равный е] [17.14]. Докажем, что к числу е стремится и соответствующая функция при х→∞. [lim(1+1/x)^x = e при при х→∞] [17.15].

1. Пусть х→+∞. Каждое значение х заключено между двумя положительными целыми числами: n≤х<n+1, где n = [х]— это целая часть х. Отсюда следует: (1/(n+1))<1/x≤1/n; 1+(1/(n+1))<1+1/x≤1+1/n; (1+(1/(n+1)))ⁿ<(1+1/x)^x≤(1+1/n)ⁿ⁺¹. Если х→+∞, то n→∞. Поэтому, согласно (17.14), имеем: lim(1+(1/(n+1)))ⁿ = lim(1+(1/(n+1)))ⁿ⁺¹/lim(1+(1/(n+1))) = e/1 = e lim(1+1/n)ⁿ⁺¹ = lim(1+1/n)ⁿ*lim(1+1/n) = e*1 = e (n→∞). По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов: [lim(1+1/x)^x = e при при х→+∞] [17.16].

2. Пусть х→-∞. Сделаем подстановку -х = t, тогда: [lim(1+1/x)^x = lim(1-1/t)^-t = lim(t/(t-1))^t = lim(1+1/(t-1))^t = lim(1+1/(t-1))^t-1* lim(1+1/(t-1))¹ = e*1 = e (только в самом первом пределе x→-∞, в остальных к +∞)] [17.17]. Из равенств (17.16) и (17.17) вытекает равенство (17.15). Если в равенстве (17.15) положить 1/x = а (а→0 при х→∞), оно запишется в виде [ lim(1+a)^1/a = e при a→0] [17.18]. Равенства (17.15) и (17.18) называются вторым замечательным пределом.

Число е называют неперовым числом(оно иррациональное): ln_x=log_ex, e=2.72...

6. Непрерывность функции в точке. Пусть функция у = ƒ(х) определена в точке х₀ и в некоторой окрестности этой точки. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е. [lim(f(x)) = f(x₀) при х→х₀] [19.1]. Равенство (19.1) означает выполнение трех условий. 1. Функция ƒ(х) определена в точке x₀ и в ее окрестности. 2. Функция ƒ(х) имеет предел при х→х₀. 3. Предел функции в точке х₀ равен значению функции в этой точке, т. е. выполняется равенство (19.1). При нахождении предела непрерывной функции ƒ(х) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функцию ƒ(х) вместо аргумента х подставить его предельное значение х₀. Пусть функция у=ƒ(х) определена в некотором интервале (а;b). Возьмем произвольную точку х₀є(а;b). Для любого хє(а;b) разность х-х₀ называется приращением аргумента х в точке х₀ и обозначается ∆х («дельта х»): ∆х=х-x₀. Отсюда х=х₀+∆х. Разность соответствующих значений функций ƒ(х)-ƒ(х₀) называется приращением функции ƒ(х) в точке х₀ и обозначается ∆у (или ∆ƒ или ∆ƒ(х₀)): ∆у=ƒ(х)-ƒ(х₀) или ∆у=ƒ(х₀+∆х)-ƒ(х₀). Очевидно, приращения ∆х и ∆у могут быть как положительными, так и отрицательными числами. Запишем равенство (19.1) в новых обозначениях. Так как условия х→х₀ и х-х₀→0 одинаковы, то равенство (19.1) принимает вид lim(f(x)-f(x0)) = 0 при х→х₀ или [lim(∆у) = 0 при х→0] [19.3]. Полученное равенство является еще одним определением непрерывности функции в точке: функция у = ƒ(х) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в точке х₀ и ее окрестности и выполняется равенство (19.3), т. е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

7. Производная функции в точке; ее геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой. Пусть функция у = ƒ(х) определена на некотором интервале (a;b). Проделаем следующие операции:

- аргументу хє(α; b) дадим приращение ∆х: х+∆х є(a; b);

- найдем соответствующее приращение функции: ∆у = ƒ(х+∆х)—ƒ(х);

- составим отношение приращения функции к приращению аргумента: ∆у/∆х;

- найдем предел этого отношения при ∆х→0:

Если этот предел существует, то его называют производной функции ƒ(х) и обозначают одним из символов f'x, ƒ'(х); у'; у'х;.dy/dx. Производной функции у = ƒ(х) β точке х₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю: y’ = lim((f(x₀+∆x)-f(x₀))/ ∆x) или lim((f(x)-f(x₀))/x-x₀) при ∆х→0. Функция у = ƒ(х), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Производная ƒ'(х) β точке х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции у = ƒ(х) в точке, абсцисса которой равна х. В этом заключается геометрический смысл производной. ƒ'(х) = tg(a) = k. Если точка касания М имеет координаты (х₀;y₀), то угловой коэффициент касательной есть k = ƒ'(х₀). Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении (у-y₀—k(x—х₀)), можно записать уравнение касательной: у—у₀ = ƒ'(х₀)*(х-х₀). Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой. Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой коэффициент k_норм. = (-1/k_кас.) = (-1/f’(x₀)). Поэтому уравнение нормали имеет вид: у—у₀ = (-1/f’(x₀))*(x-x₀) (если f’(x₀) не равен 0).

8. Дифференцируемость суммы, разности, произведения и частного функций. Пусть функции u = u(х) и ν = ν(х) - две дифференцируемые в некотором интервале (a;b) функции. Теорема 20.2. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: (u±ν)' = u'±ν'. [!] Обозначим у u±ν. По определению производной и основным теоремам о пределах получаем: y’ = lim(числитель: u(x+∆x)±v(x+∆x))-(u(x)±v(x)) знаменатель: ∆x) = lim(числитель: u(x+∆x)-u(x) знаменатель: ∆x//±//числитель: v(x+∆x)-v(x) знаменатель: ∆x) = lim(∆u/∆x)±lim(∆v/∆x) = u’±v’ (при ∆x->0). Теорема 20.3. Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: (u*ν)' = u'ν+v'u. Замечания. а.) (с*u)' = с*u', где с = const; б.) (u*ν*w)' = u'v*w+u*v'*w+u*v*w'. Теорема 20.4. Производная частного двух функций u(x) на v(x) (если ν(х) ≠ 0) равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя. Следствие 20.1. (u/c)’ = (1/c)*u’. Следствие 20.2. (c/v)’ = -(c*v’)/v², где c = const.

Производные сложной функции Пусть у = ƒ(и) и u = φ(х), тогда у = ƒ(φ(х)) — сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом х. Теорема 20.5. Если функция u = φ(х) имеет производную u'х в точке х, а функция у = ƒ(u) имеет производную у'u в соответствующей точке u = φ(х), то сложная функция у = ƒ(φ(х)) имеет производную у'_х в точке х, которая находится по формуле у'_х = у'_u-u'_х. Для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

9. Непрерывность функции имеющей производную. Теорема: Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней. Обратное неверно! Замечания. 1. Существуют односторонние пределы функции у = |х| в точке х = 0. В таких случаях говорят, что функция имеет односторонние производные (или «производные слева и справа»), и обозначают соответственно ƒ'_-(х) и ƒ'₊(х). Если ƒ'₊(х) ≠ ƒ'_-(х), то производная в точке не существует. Не существует производной и в точках разрыва функции. 2. Производная у' = ƒ'(х) непрерывной функции у = ƒ(х) сама не обязательно является непрерывной. Если функция у = ƒ(х) имеет непрерывную производную у' = ƒ'(х) в некотором интервале (a;b), то функция называется гладкой.

Механический смысл производной: Функция у = ƒ(х), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Обобщая, можно сказать, что если функция y = f(x) описывает какой-либо физический процесс, то производная у' есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной. Касательной к данной кривой в данной точке М называется предельное положение МТ секущей ММ1, проходящей через точку М, когда вторая точка пересечения М1 неограниченно приближается по кривой к точке М1.

Теорема: Если функция у = ƒ(х) строго монотонна на интервале (a;b) и имеет неравную нулю производную ƒ'(х) в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция х = φ(у) также имеет производную φ'(у) в соответствующей точке, определяемую равенством φ’(y) = 1/f’(x) или x’_y = 1/y’_x. Производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Дифференцирование параметрически заданной функции. Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений: [x = x(t), y = y=y(t)] [21.1], где t — вспомогательная переменная, называемая параметром. Получаем: y’_x = y’_t*1/x’_t, т.е y’_x = y’_t/x’_t. Полученная формула позволяет находить производную у'_х от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

10. Производные высших порядков. Формула Лейбница. Производная у' = ƒ'(х) функции у = ƒ(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка. Если функция ƒ'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у". Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n-1) порядка.

Производные высших порядков от функций, заданных параметрически. Пусть функция у = ƒ(х) задана параметрическими уравнениями [x = x(t), y = y = y(t)]. Как известно, первая производная у'_х находится по формуле (23.1) y’_x = y’_t/x’_t. Найдем вторую производную от функции заданной параметрически. Из определения второй производной и равенства (23.1) следует, что: y’’_xx = (y’_x)’_x = (y’_x)’_t*t’_x = (y’_x)’_t/x’_t. [y’’_xx = (y’_x)’_t/x’_t] [23.2].

Формула Лейбница:

- биноминальные коэффициенты.