Что можно сказать о новой связи между алгеброй и геометрией?

Как я уже говорил, начиная с 9 в., содержание математики изменилось, она преобразилась, и границы ее раздвинулись. Все шире распространялись греческая арифметика и геометрия. Кроме того, внутри эллинистической математики возникли другие, неведомые грекам области. Изменилась связь старых дисциплин, образовалось и множество других связей. Это имеет существенное значение для понимания всей истории математики: новые отношения между алгеброй и геометрией дали толчок к созданию методов, обладающих огромным потенциалом.

В 10 в. математики предприняли двустороннее исследование преобразования, о возможности которого до этого никто не предполагал, - речь идет о переводе геометрических задач на язык алгебры и наоборот. Они переводили алгебраические выражения в пространственные задачи, которые ранее не удавалось разрешать с помощью линейки и циркуля, а такие, как, например, проблемы деления угла на три части, двух средних величин и правильного семиугольника. Кроме того, встретившись с трудностями при использовании радикалов для решения кубических уравнений, алгебраисты, а также такие геометры, как Абу аль-Джуд (аль-Лейт), обратились к языку геометрии и применили метод кононических сечений.

Первые попытки создать основу для этих преобразований сделал Омар Хайям (ок.1048-1131). Стремясь выйти за пределы особых случаев, представляемых какой-либо одной формой кубического уравнения, он разработал теорию решения алгебраических уравнений степени меньшей или равной трем, которая одновременно давала новую модель формулировки уравнений. Затем он приступил к изучению кубических уравнений, используя кононические сечения для получения их положительных действительных решений. Для построения своей теории Омар Хайям, прежде чем сформулировать новую связь между алгеброй и геометрией, должен был четко представить себе ее. Это было начало создания теории уравнений, которая, пусть пока только экспериментально, перекидывала мост между алгеброй и геометрией.

В своем знаменитом математическом трактате «Алгебра» Омар Хайям сделал два знаменательных открытия, которые историки ошибочно приписывают Декарту. Это – решение в общем виде всех уравнений третьей степени помощью кононических сечений и возможность геометрических расчетов путем определения единицы длины, что явилось основополагающей концепцией.

Примерно через пятьдесят лет последователь Омара Хайяма Шарифэддин Туси сделал еще один шаг вперед. Стремясь доказать существование точки пересечения двух кривых, он вплотную подошел к задаче нахождения и разделения корней уравнения и к анализу условий, при которых они существуют. В процессе поиска решения он дал определение понятию максимальных величин для алгебраического уравнения и попытался сформулировать концепцию и методы их определения.

Это привело аль-Туси не только к разработке концепций и методов, таких, как производные функции, получившие это название в более позднее время, но также заставило его изменить свой подход. Он пришел к выводу, что необходимо исходить из геометрических мест точек, в то время как его предшественники рассматривали только совокупность свойств изучаемых объектов. Все эти открытия и выведенная на их основе теория очень важны, но они часто приписываются математикам, жившим несколькими столетиями позднее.

Таковы главные особенности диалектических связей между алгеброй и геометрией. Однако для полноты картины следует также упомянуть два явления, которые замедляли развитие новой математики. Это – трудность в использовании отрицательных чисел как таковых, в то время когда они еще не получили определения, и недостатки обозначения символическими знаками. Решить обе эти проблемы удалось лишь значительно позднее.

Историки традиционно делят наше прошлое на античность, средние века, Возрождение и Новое время. Насколько такое деление справедливо по отношению к математике, особенно имея в виду вклад арабов в эту науку?

Действительно, «средневековой» математике обычно противопоставляется математика «современная». В историческом плане изначальный объем знаний, накопленных латинской, византийской, арабской, а также индийской и китайской математикой, можно было бы отделить от всей совокупности трудов, созданных в период Возрождения. Однако, на мой взгляд, такая дихотомия не имеет особого значения ни в историческом, ни в эпистемологическом плане. Арабская математика, безусловно, является продолжением эллинистической математики, которая ее породила. Это относится и к математике, которая, начиная с 12 в. развивалась в латинском мире. Наконец труды, созданные на арабском и латинском языках с 9 до начала 17 в., нельзя разделять на отдельные периоды.

Наоборот, все свидетельствует о том, что характер науки оставался прежним. Это подтверждается хотя бы тем, что мы можем сравнивать труды по алгебре и вычислительным процедурам, созданные в 12 в. аль-Самавалем и в 16 в. Симоном Стивеном; открытия в теории чисел аль-Фаризи с открытиями Декарта; методы числового решения уравнений аль-Туси и работы Франсуа Виета в 14 в.; поиск максимальных величин аль-Туси и Ферма; работы аль-Хазина по интегральному диофантову анализу в 10 в. и работу Баше де Мезирьяка в 17 в. И если мы не примем во внимание труды аль-Хорезми, Абу Камиля, аль-Караджи и других, то как сможем понять труды Леонардо Пизанского и других итальянских математиков 12 и 13I вв. или математиков 17 в.?

В Европе конец 17 в. был отмечен появлением новых методов и новых областей математики. Однако все это возникло не на пустом месте и не одновременно в каждой дисциплине. Более того, линии раздела редко совпадают с появлением трудов разных ученых. В теории чисел, например, использование Декартом и Ферма алгебраических методов не было новшеством, как это порой утверждают, они просто повторили открытия аль-Фаризи. Настоящим открытием Ферма можно считать его труд 1640 г. – изобретение метода «предельного перехода» и изучение квадратичных форм. Таким образом, вклад рабских математиков занял достойное место в четкой схеме развития этой науки в 9– первой половине 17 в.

Задание 73. Составьте аннотацию статьи, прочитанной вами по специальности.

Задание 74. Скажите, что такое аннотация, и с какой целью она составляется. Аргументируйте свое понимание.

Задание 75. Назовите основные виды аннотаций и скажите, чем они обусловлены. Аргументируйте свое понимание.

Задание 76. Назовите составные части аннотации. Приведите пример.

Задание 77. Скажите, какова основная ошибка при составлении текста аннотации и как ее избежать. Аргументируйте свое понимание.

2.2.5. НАПИСАНИЕ РЕФЕРАТА

ТМ: Реферат – краткое изложение содержания первоисточника (книги, научной статьи и т.п.).

Реферат дает ответ на вопрос, что именно, что нового, существенного содержится в первичном документе, и передает, излагает основное содержание документа, новую проблемную информацию, содержащуюся в нем.

Виды рефератов

Виды рефератов	Характеристика
1. Информативный (реферат-конспект)	Содержит в обобщенном виде все основные положения первичного документа.
2. Индикативный (указательный, или реферат-резюме)	Содержит лишь те основные положения, которые тесно связаны с темой рецензируемого документа, все второстепенное для данной темы опускается.
По количеству реферируемых документов рефераты подразделяются на:
1. Монографический – составленный по одному документу.
2. Обзорный – составленный по нескольким документам на одну тему.

При написании курсовых, дипломных и диссертационных работ из всех видов рефератов особенно важны учебные информативные рефераты.

Структура и содержание реферата

І. Вводная часть (заголовочная).	Фамилия и инициалы автора (авторов); название работы (книги, статьи); выходные данные (год, место издания, название, номер журнала, страницы).
ІІ.Собственно реферативная часть. 1. Вступление.	Формулировка темы (проблемы) первичного текста, которая, как правило, отражена в названии текста (статьи, книги); начало собственно реферативной части должно быть обобщающим и одновременно содержащим указания на новую информацию.
3. Основная часть.	Компрессия научной информации, направленная на то, чтобы выявить и выбрать из содержания первичного документа наиболее существенную, новую информацию и представить ее в новой краткой форме в соответствии с поставленной целью по принципу «минимум знаков – максимум информации».
4. Заключительная часть.	Выводы автора.
ІІІ. Итоговая часть (не является обязательной для информативного реферата)	Вывод, содержащий оценку работы автора (-ов) с точки зрения новизны информации и рекомендации о возможности и сфере использования изложенных идей (положений).

Основные требования, предъявляемые к составлению рефератов:

1. Объективность (точное изложение существа реферируемой работы и взглядов ее автора, фиксирование только тех сведений, которые содержатся в первичном документе, без оценки излагаемого).

2. Полнота (изложение всех существенных положений, содержащихся в первичном документе).

3. Единство стиля (использование тех же языковых средств, единой терминологии, сокращений и т.д., что и в первичном документе).

4. Язык реферата должен быть литературным, точным, кратким, ясным и простым, без сложных грамматических конструкций и сложных стилистических оборотов, используются такие грамматические средства языка, которые при сжатом изложении дают максимум информации.

5. Композиция реферата должна быть внутренне логична и может отличаться от композиции первичного документа.

6. Объем реферата определяется содержанием первичного документа, количеством сведений и их научной ценностью; средний объем текста реферата: 500 печатных знаков – для заметок и кратких сообщений; 1000 печатных знаков – для большинства статей, патентов; 2500 печатных знаков – для документов большого объема; в рефератах на произведения печати по общественным наукам допускается большой объем (иногда объем таких рефератов не регламентируется); в случае важности, информативности, актуальности источника или его труднодоступности объем реферата может достигать 12 тысяч печатных знаков и более.

Клише, используемые при составлении реферата

І. Вводная часть, вступление

Работа из предисловия и пяти глав (книга, монография, из введения и четырех разделов статья) состоит из введения, трех глав и заключения

ІІ. Основная часть

В первой анализируется второй главе излагается В работе третьей разделе исследуется что (книге, этой части рассматривается монографии, данной обосновывается статье) обобщается раскрывается освещается раскрывается во-первых подвергаются критике во-вторых приводятся сведения (о чем) в-третьих разбираются (какие) проблемы речь идет (о чем) говорится (о чем)

анализирует (что) выделяет (что) дает оценку (характеристику) (чему) излагает (что) затрагивает вопрос (о чем) Автор предлагает (что) рассматривает (что) решает (что) обращает внимание (на что) останавливается (на чем) отмечает (что)

По мнению автора… По определению автора…

ІІІ. Заключительная часть

В заключение (кратко) разбирается (что) автор говорит (о чем) пишет (о чем) приходит к (такому) выводу В итоге рассматривается такой вывод… Исследуя (что), автор пишет: «…». Завершая работу, автор пишет: «…». Автор заключает: «…».

Задание 78. 1.Найдите и выпишите ключевые слова из каждого абзаца.

2. Составьте и запишите сложный план полученного текста, выпишите предложения, несущие основную информацию.

3. Найдите в тексте средства связи, выпишите их.

4. Напишите информативный реферат данной статьи.