Не могли бы вы привести какой-либо пример соприкосновения арифметики и алгебры?

Один из примеров, которые приходят мне на ум, - вклад арабской математики в классическую теорию чисел.

К концу 9 в. были переведены важнейшие труды греков по арифметике: книги Евклида, «Введение в арифметику» Никомаха из Герасы и «Арифметика» Диофанта Александрийского. Вслед за этими переводами появились новые страницы в теории чисел, явившиеся в некотором роде ответом на них. Например, в области теории дружеских чисел было сделано два важных шага. Один из них привел к (в евклидовой арифметике) ряду новых открытий, а другой через несколько столетий появлению целой области чисел, не имевшей никакого отношения к открытиям греков. Остановимся на этих двух фрагментах подробнее.

В конце 9 книги своих «Начал» Евклид выдвинул теорию совершенных чисел. Однако ни он, ни Никомах Герасский не разработали теорию дружеских чисел. Сабит ибн Курра, который перевел труд Никомаха и правил один из переводов «Начал», решил заняться этим вопросом. Он вывел замечательную формулу для дружеских чисел, которая теперь носит его имя.

Если отвлечься от мистики, которая традиционно окружает дружеские числа, и обратиться к чистой математике, то нужно признать, что вплоть до конца 17 в. формула ибн Курры упоминалась лишь вскользь и то в работах более поздних математиков. Среди них были такие светила арабского мира, как аль-Антаки, аль-Багдади, ибн аль-Бана, аль-Умави и аль-Каши. Время и место их жизни свидетельствует о широком распространении формулы ибн Курры, которую мы вновь встречаем в 1636 году в работе Пьера де Ферма. В 1638 г – в работе Рене Декарта.

Второй момент примечателен тем, что прославленный физик и математик Камаль-Дин аль–Фаризи, умерший в 1320 г., написал трактат, целью которого было построить доказательство формулы ибн Курры, но иным путем. Доказательство аль-Фаризи было основано на последовательном определении делителей какого-либо целого числа и действий, которые могут быть с ними произведены. Оно не только дало толчок к изменениям перспектив евклидовой арифметики, но и привело к появлению новых направлений в теории чисел. Стало возможным говорить о ее неэллинистическом разделе.

Прежде чем приступить к новой области – изучению делителей, - аль-Фаризи должен был точно установить некоторые факты, не выявленные в «Началах» Евклида. Ему также пришлось использовать достижения алгебры 10-11 вв., особенно комбинаторные методы. Таким образом, разработанный аль-Фаризи метод позволил ему не ограничиваться доказательством формулы ибн Курры и приступить к новому исследованию первых двух арифметических функций, сумме делителей целого числа и числу этих делителей.

А ведь именно такой подход, когда алгебра и комбинаторный анализ применялись к евклидовой арифметике, преобладал в Европе вплоть до 18 в., по крайней мере, до 1640 г. Таким образом, анализ выводов и методов аль-Фараби показывает, что благодаря им еще в 13 в. могло появиться множество теорем, открытий и методов, которые до сих пор приписывались математикам 17 в.