Примеры. Задание 1: Найти сумму членов ряда:

Задание 1: Найти сумму членов ряда:

1) ;

2) .

Решение: 1) Находим частичные суммы членов ряда:

; ; ;

; ….

Запишем последовательность частичных сумм: , , , , …, , …. Общий член этой последовательности есть . Следовательно, . Последовательность частичных сумм имеет предел, равный . Итак, рая сходится и его сумма равна .

2) Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, в которой , . Используя формулу , получим . Значит, ряд сходится и его сумма равна 1.

Задание 2: С помощью признака сравнения исследовать на сходимость ряды:

1) ;

2) .

Решение: 1) Сравним данный ряд с рядом

.

Ряд сходится, так как его член образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем . При это каждый член исследуемого ряда меньше соответствующего члена ряда . Поэтому, согласно признака сравнения, данный ряд сходится.

2) Сравним данный ряд с гармоническим рядом

.

Каждый член исследуемого ряда, начиная со второго, больше соответствующего члена ряда . Так как гармонический ряд расходится, то, согласно признаку сравнения, расходится и данный ряд.