Примеры. Задание 1: Решить уравнение:

Задание 1: Решить уравнение: .

Решение: Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: . Отсюда следует, что , . Так как корни характеристического уравнения действительные и разные, то общее решение данного дифференциального уравнения согласно формуле (3) запишется так: .

Задание 2: Найти частное решение уравнения , если и при .

Решение: Составим характеристическое уравнение . Решая его, получим, , . Так как корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид: , то есть .

Для нахождения искомого частного решения нужно определить значения постоянных и . Подставив в общее решение значения и , получим .

Продифференцировав общее решение и подставив в полученное выражение значения и , имеем , отсюда следует, что . Из данного выражения находим: , .

Таким образом, искомое частное решение имеет вид .

Задание 3: Решить уравнение .

Решение: Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: , . Характеристическое уравнение имеет равные действительные корни; поэтому согласно формуле (4) общее решение данного дифференциального уравнения записывается в виде .

Задание 4: Найдите частное решение уравнения , если и при .

Решение: Так как характеристическое уравнение имеет равные действительные корни , то общее решение данного дифференциального уравнения записывается в виде

.

Дифференцируя общее решение, имеем

.

Подставив начальные данные в выражение для и , получим систему уравнений

, или , откуда и . Следовательно, искомое частное решение имеет вид .