Таким образом, мгновенная скорость в момент времени прямолинейного движения, совершаемого по закону равна значению производной

ВОПРОС № 10-(43)

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИИ

Вспомним сначала определения возрастающей и убывающей функций.

Функция y=f(x), определенная на некотором отрезке [ a, b ] (интервале (a, b)), называется возрастающей на этом отрезке, если большему значению аргумента x из [ a, b ] соответствует большее значение функции, то есть если x ₁ < x ₂, то f(x ₁ ) < f(x ₂ ).

Функция y=f(x) называется убывающей на некотором отрезке [ a, b ], если меньшему значению аргумента x из [ a, b ]соответствует большее значение функции, то есть если x ₁ < x ₂, то f(x ₁ ) > f(x ₂ ).

Функция, только возрастающая или только убывающая на отрезке, называется монотонной на этом отрезке.

Функция y=f(x) называется постоянной на некотором отрезке [ a, b ], если при изменении аргумента x она принимает одни и те же значения.

Рассмотрим график функции изображенной на рисунке и определим промежутки возрастания и убывания функции.

(-∞, a), (c, +∞) – убывает;

(a, b) – постоянная;

(b, c) – возрастает.

Применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции.

Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)

1. Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает на [ a, b ], то ее производная неотрицательна на этом отрезке, f '(x) ≥ 0.

2. Обратно. Если функция y=f(x) непрерывна на [ a, b ], дифференцируема на (a, b) и ее производная положительна на этом отрезке, f ' (x) ≥ 0 для a<x<b, то f(x) возрастает на[ a, b ].

Доказательство.

1. Докажем первую часть теоремы. Итак, пусть функция y=f(x) возрастает на [ a, b ]. Зафиксируем на этом отрезке произвольную точку x, придадим ей приращение Δ x. Тогда если Δ x >0, то x<x+ Δ x. Поэтому по определению возрастающей функции f(x)<f(x+ Δ x), то есть f(x+ Δ x) - f(x)> 0. Но тогда и Аналогично, если Δ x< 0, то x>x+ Δ x и значит f(x+ Δ x)-f(x)< 0, а

Переходя в этом равенстве к пределу при Δ x →0, получим , то есть f '(x) ≥0.

2. Докажем вторую часть теоремы. Пусть f '(x)> 0при всех x Î (a,b). Рассмотрим два любых значения x ₁ и x ₂ таких, что x ₁ < x ₂. Нужно доказать, что f(x ₁ )< f(x ₂ ). По теореме Лагранжа существует такое число c Î (x ₁, x ₂ ), что . По условию f '(x)> 0, x ₁ – x ₂>0Þ , а это и значит, что f(x) – возрастающая функция.

Аналогичная теорема имеет место и для убывающих функций.

Теорема 2. Если f(x) убывает на[ a,b ], то на этом отрезке. Если на (a; b), то f(x) убывает на [ a, b ],в предположении, что f(x) непрерывна на [ a, b ]. Доказанная теорема выражает очевидный геометрический факт. Если на [ a, b ] функция возрастает, то касательная к кривой y=f(x) в каждой точке этого отрезке образует острый угол с осью Ox или горизонтальна, т.е. tg a≥0, а значит f '(x) ≥0. Аналогично иллюстрируется и вторая часть теоремы. Таким образом, возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной. Чтобы найти на каком промежутке функция возрастает или убывает, нужно определить, где производная этой функции только положительна или только отрицательна, то есть решить неравенства f '(x) >0 – для возрастания или f '(x)< 0 – для убывания.

ВОПРОС № 8-(44)

Экстремум функции и критические точки. Необходимое экстемума фукции

Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x₁< x₂ выполняется неравенство f(x₁) < f (x₂) (f(x₁) > f(x₂)).

Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ¢(x) > 0 (f ¢(x) < 0).

Точка x_о называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки x_о, для всех точек которой верно неравенство f(x) £ f(x_о) (f(x) ³ f(x_о)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.

Необходимые условия экстремума. Если точка x_о является точкой экстремума функции f(x), то либо f ¢(x_о) = 0, либо f ¢(x_о) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Первое достаточное условие. Пусть x_о - критическая точка. Если f ¢ (x) при переходе через точку x_о меняет знак плюс на минус, то в точке x_о функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x_о экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную
f ¢ (x) в окрестности точки x_о и вторую производную в самой точке x_о. Если f ¢(x_о) = 0, >0 ( <0), то точка x_о является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].

ВОПРОС № 7-(43)

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точка перегиба

свойство графика функции у = f (x) (кривой), заключающееся в том, что каждая дуга кривой лежит не выше (не ниже) своей хорды; в первом случае график функции f (x) обращён выпуклостью книзу (вогнутостью кверху) и сама функция называется выпуклой (рис. 1, а), во втором — график обращён вогнутостью книзу (выпуклостью кверху) и функция называется вогнутой (рис. 1, б). Если существуют производные f '(x) и f "(х), то первый случай имеет место при условии, что f "(x) ≥ 0, а второй при f "(x) ≤ 0 (во всех точках рассматриваемого промежутка). Выпуклость (книзу) можно охарактеризовать также тем, что дуга кривой лежит не ниже касательной, в окрестности любой своей точки (рис. 2, a), а вогнутость (книзу) — тем, что дуга кривой лежит не выше касательной (рис. 2, б). Аналогично определяются В. и в. поверхности.

Рис. 1 к ст. Выпуклость и вогнутость.

Рис. 2 к ст. Выпуклость и вогнутость.

. Точка, в которой направление выпуклости графика функции меняется на противоположное называется точкой перегиба.

ВОПРОС № 6-(46)

Асимптомы графика функции. Общая схема исследования функции и построение графиков

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

Определение 7.1 Вертикальной асимптотой графика функции называется вертикальная прямая , если или при каком-либо из условий: , , . Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка принадлежала области определения функции , однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки: или , где .

Наклонной асимптотой графика функции при называется прямая , если выполнены два условия:
1) некоторый луч целиком содержится в ;
2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при :

(7.1)

Наклонной асимптотой графика функции при называется прямая , если
1) некоторый луч целиком содержится в ;
2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при :

Рис.7.6.Графики функций, имеющие наклонные асимптоты при и при

В случае, если наклонная асимптота расположена горизонтально, то есть при , она называется горизонтальной асимптотой. Таким образом, горизонтальная асимптота -- частный случай наклонной асимптоты; прямая является горизонтальной асимптотой графика при или , если

или

соответственно.