Если существует предел

, то

Применим к функциям f(x) и φ(x) теорему Коши для отрезка [x₀;x],

лежащего в окрестности точки x₀, тогда

, где с лежит между x₀ и х.

При x→x₀ величина с также стремится к х₀; перейдем

в предыдущем равенстве к пределу:

Так как , то .

Поэтому

(предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их

производных, если последний существует)

Правило Лопиталя, при ∞ / ∞.