Доказательство. Чтобы не усложнять изложение, ограничимся тем случаем, когда множество D ограничено, и, следовательно

Чтобы не усложнять изложение, ограничимся тем случаем, когда множество D ограничено, и, следовательно, является вы­пуклым многогранником.

Для доказательства воспользуемся следующим известным свойством ограниченных выпуклых множеств:

Если D — замкнутое ограниченное выпуклое множе­ство, имеющее конечное число угловых точек, то лю­бая точка x&D может быть представлена в виде вы­пуклой комбинации угловых точек D.

Строгое доказательство данного утверждения см., например, в [14].

Пусть х¹, х²,..., х^т — угловые точки множества D, а х^* — точка, в которой целевая функция f достигает максимума.

На основе сформулированного выше утверждения точку х^* можно представить в виде выпуклой комбинации угловых точек х¹, х²,..., х^т

где

Так как х^* — точка максимума, то для любого х Î D сх^* ³ сх. Функция f(x) — линейная, поэтому

следовательно,

(1.10)

где х^r — угловая точка, удовлетворяющая условию

Из (1.10) видно, что сх^* £ сх^r. В то же время справедливо об­ратное неравенство: сх^* ³ сх^r. Откуда следует, что сх^* = сх^r, т. е. существует по крайней мере одна угловая точка x^r, в которой целевая функция принимает максимальное значение. ▲

Теорема 1.2. Если целевая функция f принимает мак­симальное значение в нескольких точках множества D, то она принимает это же значение в любой точке, яв­ляющейся их выпуклой комбинацией.