Построение простейших математических моделей

Математической моделью экономической задачи называется совокупность математических соотношений, описывающих рассматриваемый экономический процесс.

Для составления математической модели необходимо:

— Выбрать переменные задачи;

— Составить систему ограничений;

— Задать целевую функцию.

Переменным и задачи называют величины х₁, х₂, …,x_n, которые полностью характеризуют экономический процесс. Их обычно записывают в виде вектора Х = (х₁, х₂, …,x_n).

Системой ограничений задачи называется совокупность уравнений и неравенств, которым удовлетворяют переменные задачи и которые следуют из ограниченности ресурсов или других экономических условий, например условия положительности переменных. В общем случае они имеют вид

Целевой функцией называют функцию Z (X) = f (х₁, х₂, …,x_n) переменных задачи, которая характеризует качество выполнения задачи и экстремум которой требуется найти.

Общая задача математического программирования формулируется следующим образом: найти переменные задачи х₁, х₂, …,x_n, которые обеспечивают экстремум целевой функции Z (X) = f (х₁, х₂, …,x_n)→ max (min) и удовлетворяют системе ограничений

Если целевая функция и система ограничений линейны, то задача математического программирования называется задачей линейного программирования.

Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования называется любой n-мерный вектор Х = (х₁, х₂, …,x_n), удовлетворяющий системе ограничений и условиям неотрицательности. Множество допустимых решений задачи образует область допустимых решений.

Оптимальным решением (планом) задачи линейного программирования называется такое допустимое решение (план) задачи, при котором целевая функция достигает экстремума.

Пример 1.

(Задача использования ресурсов). При производстве n видов продукции m видов ресурсов. Известно: b₁,b₂,…,b_m – запасы ресурсов; a_ij (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n) – расход каждого i-го вида ресурса на изготовление единицы j- й продукции; c_j (j = 1,2,…,n) – прибыль, получаемая при реализации единицы j-й продукции. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыль.

Решение.

Обозначим вектор переменных задачи Х = (х₁, х₂, …,x_n), где x_j (j = 1,2,…,n) – объем выпуска j-й продукции, a_ijx_j – затраты i-го вида ресурса на весь объем выпуска j-й продукции, запишем математическую модель задачи. Кроме того, необходимо учитывать неотрицательность переменных задачи, так как объем выпуска продукции не может быть отрицательным. Такими образом, математическая модель имеет вид

Пример 2.

(Задача о составлении рациона питания). Животные должны получать ежедневно m питательных веществ в количестве не менее b₁,b₂,…,b_m. В рацион животных входят корма n видов. Известно: a_ij (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n) – содержание i-го питательного вещества в единице j-го вида корма; c_j (j = 1,2,…,n) – стоимость j-го вида корма. Составить суточный рацион кормления животных, обеспечивающий минимальные затраты.

Решение.

Введем переменные задачи Х = (х₁, х₂, …,x_n), где x_j (j = 1,2,…,n) – объем j-го вида корма, входящего в суточный рацион. Так как a_ij – количество i-го питательного вещества, содержащегося в j-м виде корма, входящего в суточный рацион, c_jx_j – стоимость j-го корма, то математическая модель имеет вид