Предикаты и кванторы. Рассмотрим высказывательную форму cosх=1

Рассмотрим высказывательную форму cos х=1. Каждому значению "х" на множестве действительных чисел эта форма ставит в соответствие высказываниеи, тем самым, одно из значений истинности {0,1}. Так значению х = 0, соответствует истинное высказывание cos0 = 1, при х = 2p соответствует истинное высказывание cos 2p = 1, вообще всякому значению х кратному 2х соответствует истинное высказывание, а всем остальным значениям ложные высказывания. Т.о. данная высказывательная форма задает отображение множества R действитель­ных чисел на множество {1, 0} или {и, л}, иначе говоря, задает функцию с областью определения R и множеством значений {1, 0}.

Говорят, что определена некоторая функция, если, во-первых, зада­но некоторое множество, называемое областью определения функции или областью отправления, во-вторых, задано некоторое множество, назы­ваемое областью значений (прибытия) функциии, в-третьих, указанно определенное правило, с помощью которого каждому элементу, взятому из области определения, становится в соответствие некоторый элемент из области значений.

Произвольный элемент взятый из области определения функции назы­вается аргументом и обозначается “х”. Правило соответствия обозначае­тся F, т.о. запись у=F(х) означает, что х - аргумент, у - функция, F - правило соответствия.

Функция, область определения которой задана множеством М, а все значения которой, принадлежат множеству {1, 0} называется предикатом.

Пример 1: Если переменная “х” в высказывательной форме "Река х впадает в Каспийскоеморе" принимает значение из множества М названий всевозможных рек, то эта форма задает предикат.

Из высказывательных форм можно получать высказывания не только подстановкой вместо переменныхих значений, но и с помощью специальных слов: "всякий" (а также его синонимов "любой", "каждый") и "су­ществует" ("некоторые", "по меньшей мере один") например из высказывательной формы: "Число х делится на 7" можно получить ложное высказывание “Всякое число х делится на 7” и истинное высказывание "Существует число х, которое делится на 7".

Выражение "для всякого х" называется кванторам общности по переменной х (вместо х может быть любая другая переменная) и запи­сывается " х (Ф (х)).

Выражение, "существует х, такое что..." называется квантором существования по переменной х и обозначается $ х (Ф(х)), что означает существует значение "х" такое, что Ф(х) при этом значении - истинное высказывание. Переход от формы Ф(х) к высказыванию " х (Ф(х)) или $ х (Ф(х)) называется операцией квантификацией формы Ф(х). Будем называть переменную "х" в Ф(х) после применения к ней операции квантификации связанной переменной. В отличие от связанных переменных, переменные в первоначальном смысле слова называются свободными переменными.