Если краевые условия обладают центральной симметрией, то решение уравнения получает простейший вид в сферической системе координат

Оператор Лапласа в сферических координатах имеет вид (7.5) – (7.7):

.

Радиальная и угловые переменные в уравнении Гельмгольца (10.6) разделяются. Решение ищем в виде

,

где – сферическая функция, удовлетворяющая (7.20):

, .

Подстановка решения в (10.6)

дает для уравнение сферических функций Бесселя (8.58)

, (10.13)

тогда . В результате общее решение волнового уравнения (10.2) имеет вид

. (10.14)

При отсутствии зависимости от времени выполняется и вместо (10.13) получаем

.

Решение ищем в виде и для a получаем уравнение

Его решения и дают

,

. (10.15)