Собственное подпространство

Пусть l – собственное число матрицы А. Как найти собственные векторы, отвечающие данному l? Как говорилось, следует данное значение l подставить в уравнение (*) и найти все решения этой системы:

. (***)

Определитель этой однородной системы равен нулю, все решения такой системы образуют подпространство пространства Rⁿ (см. юниту 1), ненулевые векторы которого составляют собственное подпространство V _l, собственных векторов, отвечающих данному значению l.

Строго говоря, V _l не является подпространством, т.к. не содержит 0–вектора. Но когда говорят о собственном подпространстве V _l, то вектор добавляется ко всем собственным.

Чтобы найти общее решение системы (***), следует найти фундаментальную систему решений (ФСР), образующую базис V _l. Напомним, что размерность подпространства решений равна , где n – число переменных, r – ранг матрицы (А –l Е) при данном l

.

Справедлива теорема.

Теорема. Размерность собственного подпространства V_l не превосходит кратности l характеристического многочлена .

.

Найдем собственные векторы матриц в рассмотренных ранее примерах.

Матрица

имеет собственные числа , . Пусть , тогда система примет вид:

, или .

Система эквивалентна одному уравнению , здесь n =2, r =1, x ₂ – свободная переменная, х ₁ – зависимая. ФСР состоит из одного вектора , который образует базис в одномерном собственном подпространстве .

Пусть теперь , тогда для собственного вектора получим систему:

,

которая эквивалентна одному уравнению . Придавая свободной переменной х₂значение 1, получим вектор , образующий ФСР в собственном подпространстве .

Так как собственные значения , то векторы , линейно независимы и могут служить базисом пространства R ².

Вернемся теперь к примеру 2.

Матрица

имеет собственные числа , .

Найдем собственные векторы, отвечающие значению . Система имеет вид:

.

Эта система эквивалентна одному уравнению , , , , – свободные переменные, – зависимая.

Общее решение в координатной форме имеет вид:

.

Полагая , , получим вектор ; при , получаем вектор . Векторы и образуют ФСР в собственном подпространстве .

Пусть . Система

.

Эквивалентная система имеет вид:

,

, , , – свободная переменная, , – зависимые. Общее решение в координатной форме: .

При , получим вектор , образующий ФСР собственного подпространства . Векторы , , линейно независимы и могут служить базисом пространства R³.

Рассмотрим еще один пример.

.

Характеристический многочлен :

.

Собственные числа матрицы: , . Найдем собственное подпространство V₀ для кратного корня =0 (k=2).

,

, , – свободная переменная, – базис V₀.

Заметим, что меньше кратности корня =0. Таким образом, двукратному корню l=0 отвечает одномерное собственное подпространствоV₀.

Пусть теперь , соответствующая система имеет вид:

,

, , – свободная переменная, , – зависимые:

и .

Хотя и линейно независимы, но они не могут образовать базис в R³.

Подведем итог сказанному. Сформулируем алгоритм поиска собственных чисел и собственных векторов матрицы.

1. Составить характеристическое уравнение:

.

2. Найти вещественные корни , характеристического многочлена (если таких нет, то нет и собственных векторов). Пусть , – соответствующие кратности этих корней. Тогда , где n – порядок квадратной матрицы А.

3. Для каждого корня составить систему линейных однородных уравнений и найти ее ФСР: , , размерность .

4. Объединить найденные фундаментальные системы по всем собственным числам l. Полученная система из собственных векторов матрицы А будет линейно независимой.

Если число векторов объединенной системы , то она образует собственный базис матрицы А.

2 ПРИВЕДЕНИЕ СИММЕТРИЧНОЙ МАТРИЦЫ К ДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ

2.1 Скалярное произведение в пространстве Rⁿ. Процесс ортогонализации

В юните 1 нашего курса уже было введено понятие скалярного произведения в пространстве Rⁿ. Напомним его.

Пусть и – два вектора пространства Rⁿ, тогда скалярным произведением векторов и называется число :

, или .

В следующих главах будет обобщено понятие скалярного произведения и рассмотрены его основные свойства.

Здесь напомним, что длина вектора (норма вектора)

.

Два вектора и ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю, т.е. .

Определение. Система векторов , в Rⁿ ортогональна, если

1) , для всех ;

2) , для всех .

Можно доказать (что будет сделано ниже), что ортогональная система линейно независима.

Определение. Ортонормированной называется система векторов , из Rⁿ, если

1) система ортогональна;

2) длина каждого вектора системы равна 1, т.е. , .

Любой вектор можно нормировать, т.е. построить такой вектор , что .

Вектор называется ортом вектора , если его длина равна единице, а его координаты:

.

Например, ортом вектора является вектор

, т.к. .

Итак, всякую ортогональную систему легко превратить в ортонормированную.

Любая ортонормированная система из n векторов пространства образует ортонормированный базис пространства .

Пусть линейно независимая система векторов из . Тогда ее можно ортогонализовать, т.е. построить ортогональную систему векторов такую что, линейные оболочки векторов и совпадают

.

О линейной оболочке см. юниту 1.

Покажем, как из системы строится система .

Алгоритм процесса ортогонализации: 1) , 2) , коэффициент подберем так, чтобы и были ортогональны, т.е. .

, отсюда .

3) , ₁и ₂находим из условий: и , или

,

так как , то .

,

так как , то .

Итак, , или

.

Аналогично строятся векторы , где

.

Заметим, что векторы новой системы являются линейными комбинациями векторов линейно независимой системы , т.е. принадлежат .

Итак, от произвольного базиса линейной оболочки мы перешли к ортогональному базису , причем .

Пример. В пространстве векторы и не коллинеарные и образуют базис. Так как , то базис не ортогональный. Построим ортогональный базис .

1. .

2. , где ,

(рисунок 4).

Рисунок 4

Базис – ортогональный, но не нормированный. Нормируем этот базис:

; ,

; .

Базис – ортонормированный стандартный базис.

Стандартные базисы в и , ,..., в являются ортонормированными базисами.