Характеристический многочлен

Пусть – собственное число матрицы А. Тогда существует вектор такой, что .

Перепишем это равенство в виде

. (*)

Последнее векторное равенство является системой линейных однородных уравнений. Такая система всегда имеет нулевое решение. Напомним, что для того чтобы вектор , удовлетворяющий этой системе, был собственным нужно, чтобы система (*) имела ненулевое (и, следовательно, не единственное) решение. Тогда ее, определитель

. (**)

Обратно, если определитель однородной системы (*) равен нулю, то эта система имеет ненулевое решение, т.е. существует собственный вектор , отвечающий данному .

Итак, имеет место теорема. Для того чтобы было собственным числом матрицы А необходимо и достаточно, чтобы

.

Рассмотрим равенство (**) подробнее.

Матрица имеет вид:

.

Следовательно, равенство (**) можно записать так:

.

Левая часть этого равенства является многочленом степени n относительно , обозначим его .

Многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А,
а уравнение (**) называется характеристическим уравнением. Напомним, что число есть корень многочлена , если .

Тогда последнюю теорему можно сформулировать так:

Теорема. Число – собственное число матрицы А тогда и только тогда, когда – корень характеристического многочлена этой матрицы.

Известно, что многочлен степени n имеет ровно n корней (с учетом их кратности) действительных или комплексных. Нас будут интересовать только действительные собственные числа и отвечающие им собственные векторы.

Рассмотрим пример: найти собственные значения и собственные векторы матрицы

; ,

; , .

Соответствующие собственные векторы , .

Такие собственные числа и векторы мы не будем рассматривать.

Итак, наша задача состоит в отыскании вещественных корней характеристического многочлена.

В дальнейшем, говоря о собственных числах, мы будем иметь в виду лишь вещественные собственные числа.

Пример 1. Найти собственные числа матрицы

.

Характеристический многочлен имеет вид:

.

Характеристическое уравнение:

или .

Корни характеристического многочлена: , – собственные числа матрицы А.

Пример 2. Найти собственные числа матрицы

.

Характеристический многочлен:

.

Разложим определитель по первой строке:

.

Характеристическое уравнение:

или .

Корни характеристического многочлена: , . Многочлен имеет два различных корня 3, 6, причем корень 3 кратности 2.