Задачи линейного программирования

В предпринимательстве выделяют два главных направления:

· рациональное использование ресурсов;

· создание потребительских благ.

К ресурсам относят затраты и капитал.

К затратам можно отнести:

· затраты на рабочую силу;

· капитальные затраты;

· материальные затраты;

· накладные расходы.

Капитал включает:

· счета к получению от потребителей;

· основные средства;

· материально-производственные запасы.

Многие задачи управления ресурсами удается свести к линейным задачам, методы решения которых прошли многочисленные проверки и подтвердили свою работоспособность.

Математическую модель задачи линейного программирования в общем виде можно записать как нахождение максимума или минимума некоторой функции, которая описывает цель данной задачи (целевая функция) и ряда ограничений обусловленных ограниченностью ресурсов необходимых для достижения поставленной цели:

min (max) W = c₁ x ₁ + c₂ x ₂ +... + c_n x _n; (1)

при ограничениях:

a₁₁ x ₁ + a₁₂ x ₂ +... + a_1n x _n £ (=, ³) b₁

a₂₁ x ₁ + a₂₂ x ₂ +... + a_2n x _n £ (=, ³) b₂ (2)

...

a_m1 x ₁ + a_m2 x ₂ +... + a_mn x _n £ (=, ³) b_m

x _j ³ 0, j=1, 2,... n

где константы c_j описывают затраты или доходы приходящиеся на одну единицу x _j, b_i – общее количество того или иного ресурса, a_ij – постоянные коэффициенты обусловленные условием задачи.

Линейность предполагает наличие двух свойств - пропорциональности и аддитивности.

1. Пропорциональность означает, что вклад каждой переменной в целевую функцию и общий объем потребления соответствующих ресурсов прямо пропорционален уровню (величине) этой переменной.

2. Аддитивность заключается в том, что целевая функция представляет собой сумму вкладов от различных переменных. Аналогично левая часть каждого ограничения должна представлять собой сумму расходов, каждое слагаемое которой пропорционально величине соответствующей переменной. Если, например, фирма, производит два конкурирующих вида продукции, увеличение сбыта одного из которых отрицательно сказывается на объеме реализации другого, то такая модель не обладает свойством аддитивности.

Изучение задач линейного программирования и методов их решения начнем с очень простой задачи:

Задача № 1. [2] Руководствонебольшая фабрики предполагает начать изготовление двух новых видов красок: для наружных краска № 1 и внутренних работ. Для производства красок используются два исходных продукта - А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов предполагается иметь 6 и 8 т соответственно. Расходы А и В на 1 т соответствующих красок приведены в таблице № 1.1.

Таблица №1.1.

Исходный продукт	Расход исходных продуктов (в тоннах) на тонну краски	Максимально возможный запас, т
	Краска № 1	Краска № 2
А
В

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску для внутренних работ никогда не превышает спроса на краску для наружных работ более чем на 1 т. Кроме того, было установлено, что спрос на краску внутренних работ никогда не превышает 2 т в сутки. Прибыль от реализации одной тонны краски № 1 предполагается в 3 тысячи денежных единиц, а для краски № 2 - 2 тысячи денежных единиц. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?