Общее уравнение прямой

Уравнение вида в котором называется общим уравнением прямой на плоскости.

2.2 Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно вектору

Рис. 3

Через точку перпендикулярно вектору можно провести единственную прямую . Пусть произвольная точка прямой . Тогда точка Условие перпендикулярности двух векторов состоит в том, что Вектор , следовательно,

(2.1)

Уравнение (2.1) называется уравнением прямой по точке и нормальному вектору .

Пример 18. Написать уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору нормали

Решение. Воспользуемся уравнением (2.1). В нашей задаче Имеем . Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем общее уравнение прямой

Пример 19. Написать уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

Решение. Требуется написать уравнение прямой, параллельной прямой . Нормальный вектор к этой прямой является вектором нормали и к искомой прямой. Поэтому следует воспользоваться уравнением (2.1). Получаем . После преобразования имеем общее уравнение прямой

2.3 Уравнение прямой в «отрезках на осях»

Рис. 4

Пусть на координатных осях заданы две точки, отличные от начала координат на оси на оси Тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки можно записать в виде

(2.3)

где – величины отрезков, отсекаемых прямой соответственно на осях и . Знак величины или зависит от того, в каком направлении (положительном или отрицательном) по координатной оси откладывается отрезок.

Пример 20. Написать уравнение прямой, отсекающей на осях отрезки длиной 2 и 3 соответственно.

Решение. Применим уравнение (2.3). В нашем случае , поэтому уравнение прямой имеет вид . Преобразуем уравнение к общему виду, для этого умножим обе части уравнения на 6. Тогда окончательно получаем

2.4 Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно вектору

Рис. 5

Даны точка и вектор Требуется написать уравнение прямой , проходящей через точку параллельно вектору . Пусть Если или то или и ее уравнение соответственно имеет вид или Очевидно, что точка , что имеет место тогда и только тогда, когда координаты пропорциональны соответственным координатам , т.е. когда

. (2.4)

Это уравнение называют каноническим уравнением прямой, а вектор – направляющим вектором этой прямой.

Пример 21. Написать уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору

Решение. Воспользуемся уравнением (2.4). Имеем в данном случае Поэтому каноническое уравнение прямой имеет вид , откуда . Приводя подобные члены, получаем общее уравнение прямой

2.5 Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Рис. 6

Точка принадлежит прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. Следовательно, уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид

(2.5)

Пример 22. Написать уравнение прямой, проходящей через точки и

Решение. Применим уравнение (2.5). Будем считать , , , . Подставляем эти значения в уравнение (2.5), получим . Упрощая, приходим к общему уравнению прямой