Задачи № 61-70

61. а) Из 35 студентов нужно выбрать трёх делегатов на конференцию. Сколькими способами это можно сделать? Какова вероятность того, что студент Петров не окажется в числе делегатов?

б) В лотерее выпущено 20 билетов, 10 из которых выигрывают. Куплено 5 билетов. Какова вероятность того, что по крайней мере один из купленных билетов окажется выигрышным?

62. а) В группе из 25 студентов, среди которых 10 девушек, разыгрываются 5 билетов. Определить вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся две девушки.

б) На склад поступили детали с трёх станков. На первом станке изготовлено 40% деталей от их общего количества, на втором - 35% и на третьем – 25%,причём на первом станке было изготовлено 90% деталей первого сорта, на втором – 80% и на третьем – 70%.Какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта?

63. а) Из колоды в 32 карты наугад одна за другой вынимаются две карты. Найти вероятность того, что вынуты валет и дама.

б) Устройство состоит из 5 элементов, из которых 2 изношены. При включении устройства включаются случайным образом 2 элемента. Найти вероятность того, что включёнными окажутся неизношенные элементы.

64. а) В продукции кондитерской фабрики шоколадные конфеты составляют 40% ассортимента. В среднем 10 из 1000 шоколадных конфет оказывается с браком. Для остальной продукции этот показатель равен 5 из 200. Выбранное наугад изделие оказалось без брака. Какова вероятность того, что это была шоколадная конфета?

б) Студент знает ответы полностью на 20 билетов из 30. Найти вероятность того, что он не сможет ответить на все вопросы вытянутого им билета?

65. а) Завод изготавливает изделия, каждое из которых с

вероятностью Р имеет дефект. В цехе изделие с равной вероятностью осматривается одним из двух контролеров. Первый контролер обнаруживает дефект с вероятностью 0,9, второй – с вероятностью 0,95. Известно, что изделие забраковано. Найти вероятность того, что это сделано вторым контролером.

б) Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара

вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся черными.

66. а) Два автомата производят детали. которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,075, а на втором – 0,09. Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь нестандартная.

б) В ящике имеется 12 деталей, среди которых 10 окрашенных.

Сборщик наудачу извлекает 2 детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся окрашенными.

67. а) Три стрелка производят по одному выстрелу по цели, вероятности попадания в которую равны: для первого стрелка –

0,6, для второго – 0,7, для третьего – 0,8. Найти вероятность

одного попадания в цель.

б) В бригаде, состоящей из 4 женщин и 3 мужчин

разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчин?

68. а) На базе находятся костюмы, изготовленные на трех фабриках. Из них 30% изготовлено на первой, 50% на второй и 20% на третьей фабрике. Известно, что из каждых 100 костюмов, изготовленных на первой фабрике, знак качества имеют 60. Для второй и третьей фабрик этот показатель равен, соответственно, 70 и 80. Определить вероятность того, что взятый наугад с базы костюм не будет иметь знака качества.

б) В конверте среди 50 фотографий находятся 3 разыскиваемые. Из конверта наудачу извлечены 5 фотокарточек. Найти вероятность того, что среди них окажутся разыскиваемые.

69. а) Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина равна 0,1, для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

б) Произведен залп из двух орудий по мишени. Вероятность

попадания из первого орудия равна 0,85, из второго – 0,91. Найти вероятность поражения цели.

70. а) Владелец одной карточки лотереи «Спортлото» (6 из 49) зачеркивает 6 номеров. Какова вероятность того, что им будет угадано 5 номеров в очередном тираже?

б) В специализированную больницу поступает в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% - с заболеванием Н, 20% - с заболеванием М. Вероятность полного излечения от болезни К равна 0,7, для болезней Н и М эта вероятность соответственно равна 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.

Задачи № 71-80. В опыте было получено 130 наблюдений над случайной величиной X, составляющих выборочную совокупность наблюдений над случайной величиной. Из них необходимо выбрать 30 значений признака, соответствующих Вашей задаче(по таблице в конце задачи).По выборочным данным:

-составить ряд распределения; найти размах выборки;

-построить эмпирическую функцию распределения;

-найти числовые характеристики выборки: _в- выборочное среднее; D_в- выборочную дисперсию; σ_в -выборочное среднее квадратическое отклонение;

-проверить гипотезу H₀: математическое ожидание случайной величины X: М(X)=90 против альтернативной гипотезы H : М(X) (среднее квадратическое отклонение σ оценивается по выборке). Уровень доверия γ =0,95.

Номера задач	Номера значений признака
	с 1 по 30
	с 11 по 40
	с 21 по 50
	с 31 по 60
	с 41 по 70
	с 51 по 80
	с 61 по 90
	с 71 по 100
	с 81 по 110
	с 91 по 120

Номера значений признака	Значение признака, полученного из опыта
1-10
11-20
21-30
31-40
41-50
51-60
61-70
71-80
81-90
91-100
101-110
111-120

Вопросы для подготовки к экзамену

1. Множества, элементы множества Операции над множествами. Числовые множества. Изображение множеств.

2. Высказывания. Простые и сложные высказывания. Операции над высказываниями.

3. Понятие функции одной переменной. Предел функции в точке и на бесконечности Свойства пределов. Первый и второй замечательные пределы.

4. Непрерывность функции Классификация точек разрыва.

5. Понятие производной функции, её геометрический смысл. Правила дифференцирования. Таблица основных производных.

6. Возрастание и убывание функции, экстремум функции Необходимое и достаточное условия экстремума функции. Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба. Необходимое и достаточное условия точки перегиба.

7. Использование производной для исследования функции и построения её графика.

8. Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица основных интегралов. Основные методы интегрирования.

9. Определённый интеграл, его геометрический смысл и основные свойства. Формула Ньютона-Лейбница.

10. Комбинаторика. Выборки элементов. Размещения, перестановки, сочетания.

11. События и их классификация. Классическое и статистическое определение вероятности случайного события.

12. Сумма двух событий, произведение двух событий. Теоремы сложения вероятностей для двух несовместных событий и двух совместных событий. Теоремы умножения вероятностей для независимых и зависимых событий.

13. Формула полной вероятности Формула Байеса.

14. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

15. Понятие дискретной и непрерывной случайных величин. Ряд и закон распределения дискретной случайной величины.

16. Числовые характеристики дискретной случайной величины.

17. Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

18. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная статистические совокупности.

19. Графическое представление статистической совокупности (полигон, гистограмма эмпирическая функция распределения).

20. Основная задача выборочного метода. Вычисление числовых характеристик выборочной совокупности.

21. Доверительная вероятность, доверительные интервалы.

22. Проверка статистических гипотез.

Список литературы

1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие / В.Е. Гмурман. - М.: Высшая школа, 2002. – 185 с.

2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В. Е. Гмурман. - М.: Высшая школа, 1999 г. – 210 с.

3. Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов / Н. Ш. Кремер. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1998. – 225 с.

4. Кремер Н. Ш. Теория вероятности и математическая статистика: / учебник. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 110 с.

5. Тихомиров Н. Б. Математика: учебный курс для юристов / Н. Б. Карасев, А. М. Шелехов - М.: Юрайт,1999.

6. Карасев А. И. Курс высшей математики для экономических вузов в 2-х Ч. / А. И. Карасев, З. М. Аксютина, Т. И. Савельева. – М.: Высшая школа, 1982 г. – 293 с.

7. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учебное пособие в 2-х Ч. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1997 г. – 310 с.