Пример № 6

Выполнить часть общего исследования функций:

А) Исследовать характер разрыва следующей функции Функция имеет разрыв в точке , где она не определена.

; .

Односторонние пределы не существуют, следовательно, имеем разрыв второго рода. Через точку разрыва проходит вертикальная асимптота (рис. 2).

Рис 2. Рис 3.

Б) Найти экстремум функции .

Найдем производную функции. Она равна . Приравниваем производную к нулю и находим критическую точку . Чтобы найти ординату этой точки, подставим в данную функцию и запишем вершину параболы C (1; 4). Ось симметрии проходит через C параллельно оси (рис. 3). Пересечение параболы с осью : ; , т.е. A (0; 5). Симметричная ей точка A₁ (2; 5).

В) Найти точки экстремума и интервалы монотонности функции .

Находим первую производную:

и приравниваем ее к нулю . Так как , то и . Критическая точка делит на два интервала монотонности, при переходе через точку меняет знак с на . Следовательно, - точка минимума.