Практическая работа №1

Тема. Расчет вероятности выхода судна в заданный пункт и вероятности определения нескольких судов на заданной дистанции c помощью РЛС. Нахождение вероятности правильного распознавания сигнала системой автоматического управления и ошибки системы.

Цель работы. Определение с помощью методов теории вероятности вероятностей некоторых событий (выход судна в заданный пункт с заданной точностью, правильного распознавания сигнала системой автоматического управления, вероятности определения нескольких судов на заданной дистанции с помощью РЛС). Эти события могут произойти только с одним из нескольких несовместных событий (называемых гипотезами). В практической работе использовать формулу полной вероятности и ее вариацию – формулу Бейеса.

Теоретические сведения. В большинстве случаев при изучении какого-либо явления его упрощают. Из многих факторов, влияющих на это явление, выделяют главные, а остальными пренебрегают, считая их второстепенными. Однако получаемый результат полностью не лишен их влияния, проявляющегося в виде «погрешностей», «возмущений», отклонений от предрассчитанного состояния, которые называют случайными. Чем точнее хотят предсказать результат, тем более факторов следует учитывать. Однако практически учесть все факторы, от существенных до самых ничтожных, невозможно.

Цель вероятностных методов исследования заключается в том, чтобы, минуя сложное изучение каждого отдельного явления, обратиться к их массе, когда отдельные особенности явлений взаимно погашаются (нивелируются), а средний результат оказывается практически уже не случайным, и его можно прогнозировать.

Каждая наука содержит основные понятия (в геометрии это точка, прямая линия; в механике – сила, масса, скорость, ускорение и т.д.). В теории вероятностей основными понятиями являются случайное событие, вероятность события, случайная величина (СВ) и случайная функция.

Под случайным событием А понимают такое событие, которое в определенных повторяемых условиях появляется с некоторой частотой

Р*(А) = m / n, (1)

где m – число появлений события;

n – общее число наблюдений.

Частоту появления события Р*(A) называют статистической вероятностью события. При большом числе наблюдений статистическая вероятность стабилизируется и сходится к математической вероятности события Р(A), т.е.

Р*(A) → Р(A) при n → ∞. (2)

Вероятность события может изменяться от 0 до 1; причем достоверное событие, которое непременно должно произойти, оценивают единицей, а невозможное – нулем.

В своей деятельности человек использует принцип практической уверенности, считая, что если вероятность появлении события А в данной ситуации С весьма мала, то при однократном воспроизведении ситуации это событие не произойдет. В каждом конкретном случае это значение малости устанавливают в зависимости от важности события, его влияния на достижение цели.

Как правило, при решении многих задач требуется учитывать возможность появления некоторых событий и определять вероятности других событий, связанных с ними. При этом пользуются основными теоремами сложения и умножения вероятностей событий, которые бывают несовместными и совместными, независимыми и зависимыми.

Если случайные события А и B вместе произойти не могут (несовместные события), то вероятность того, что появится либо событие А, либо событие В (что обозначается как А + В), равна сумме вероятностей этих событий (теорема сложения):

Р(А + В)=Р(А) + Р(В). (3)

Для произвольного числа несовместных событий А_i

. (4)

Отсюда следует, что сумма вероятностей всех возможных несовместных событий А_i а также двух противоположных событий A и

=1 и Р(А) + Р() = 1. (5)

Последнее равенство используют в теории надежности, где событие А – работа прибора, а – отказ в его работе на том же промежутке времени. Если события А и В появляются совместно, то это событие обозначают А × В. Если вероятность события А не изменяется от того, произошло или нет событие В, то события А и В называют независимыми, а если эта вероятность изменяется, – зависимыми.

Например, вероятность обнаружения надводного объекта на заданной дистанции с использованием РЛС (событие А) зависит от волнения моря (событие В).

Вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В (или несколько событий В₀, В₁, В₂,...) произошло, называется условной вероятностью: Р (А/В) или Р (А/ В₀ В₁ В₂). Вероятность совместного появления двух событий определяется формулой (теорема умножения)

Р(А×В) = Р(В) Р(А/В) = Р(А) Р(В/А). (6)

Для независимых событий Р(А×В) = Р(А) × Р(В). А для произвольного числа независимых событий А

. (7)

На практике редко встречаются задачи, для решения которых применяют только теоремы сложения и умножения вероятностей простых событий. Как правило, вероятность события, которую требуется определить, представляют в виде суммы нескольких возможных событий, каждое из которых в свою очередь может быть представлено произведением простых событий.

Если сложное событие, вероятность появления которого требуется отыскать, имеет много вариантов, целесообразно переходить к противоположным событиям. Например, событие С (столкновение судов) может произойти в случае события В (опасной их встречи) и события М (невыполнения маневра расхождения), т. е. вероятность события С .

Вероятность события С, противоположного событию С (отсутствия столкновения),

. (8)

Следовательно, надо избегать опасных встреч судов и повышать их способность к своевременному выполнению маневра. Если требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти только вместе с одним из нескольких несовместных событий H₁, H₂, H₃,..., Н_і (называемых гипотезами), то его вероятность подсчитывают по формуле полной вероятности

. (9)

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Бейеса

, i = 1, 2, 3, …, n, (10)

формула (10) позволяет уточнить условные вероятности каждой гипотезы после появления события А.

Пример решения индивидуального задания. Пусть вероятность выхода судна в заданный пункт с точностью ε (событие А) в ясную видимость днем Р(А/Н₁) = 0,95; в штормовую погоду ночью Р(А/Н₂) = 0,8; в плохую видимость днем Р(А/Н₃) = 0,6. Прогноз погоды имеет следующие вероятности: Р(Н₁) = 0,1; Р(Н₂) = 0,2; Р(Н₃) = 0,7.

Тогда рассчитаем вероятность выхода судна в заданный пункт с точностью ε (событие А) согласно формуле (4)

Р(А) = 0,95 × 0,1 + 0,8 × 0,2 + 0,6 × 0,7 = 0,675.

Пусть вероятность обнаружения некоторых судов на заданном расстоянии (событие А) с помощью РЛС равна соответственно Р(А/Н₁) = 1,0; Р(А/Н₂) = 0,9; Р(А/Н₃) = 0,7. Суда данного типа могут встретиться с вероятностью равными соответственно Р(Н₁) = 0,5; Р(Н₂) = 0,4; Р(Н₃) = 0,1.

Тогда по формуле (4) рассчитаем вероятность обнаружения судна на заданной дистанции

Р(А) = 0,5 × 1 + 0,9 × 0,4 + 0,1 × 0,7 = 0,93.

Пусть имеется система обнаружения двух несовместных сигналов в автоматизированной системе управления судном. Вероятность появления сигнала первого типа в системе составляет , условная вероятность ошибки системы при действии сигнала первого типа составляет , условная вероятность ошибки системы при действии сигнала второго типа составляет . Найти вероятность правильного распознавания сигнала системой (событие А) и ошибки системы.

Так как сигналы на входе системы несовместны, то . Условные вероятности правильного распознавания сигнала относительно событий Н₁ и Н₂ (событие А) равны соответственно = 1 – 0,45 = 0,55 и = 1 – 0,55 = 0,45. Подставляя их в формулу расчета вероятность события, противоположного событию соответствующему, при n = 2, получаем вероятность правильного распознавания сигнала системой (событие А): Р(А) = Р_{пр. расп. сиг.} = 0,8 × (1 – 0,45) + (1 – 0,8) × 0,45 = 0,53.

Варианты для самостоятельного решения. Выбрать из приведенной таблицы вероятность выхода судна в заданный пункт в ясную видимость днем; в штормовую погоду ночью; в плохую видимость днем, а также вероятности прогноза погоды. Рассчитать вероятность выхода судна в заданный пункт с точностью ε.

Выбрать из приведенной таблицы вероятность обнаружения некоторых судов на заданном расстоянии с помощью РЛС, а также вероятность появления судов соответствующего типа. Рассчитать вероятность обнаружения судна на заданной дистанции.

Выбрать из приведенной ниже таблицы № 2 по номеру варианта вероятность появления сигнала первого типа в системе, условную вероятность ошибки системы при действии сигнала первого типа, а также условную вероятность ошибки системы при действии сигнала второго типа. Найти вероятность правильного распознавания сигнала системой (событие А) и ошибки системы.

Таблица 1 – Варианты для самостоятельного решения

Вероятность выхода судна в заданный пункт
№ варианта	в ясную видимость днем Р(А/Н1)	в штормовую погоду ночью Р(А/Н2)	в плохую видимость днем Р(А/Н3)
	0,90	0,75	0,65
	0,85	0,73	0,62
	0,75	0,6	0,55
	0,78	0,62	0,45
	0,75	0,65	0,55
	0,77	0,55	0,42
	0,70	0,65	0,45
	0,65	0,62	0,52
	0,55	0,45	0,50

Продолжение таблицы 1

	0,60	0,55	0,50
Вероятности прогноза погоды
№ варианта	ясной видимости днем Р(Н1)	штормовой погоды ночью Р(Н2)	плохой видимости днем Р(Н3)
	0,10	0,15	0,65
	0,05	0,10	0,55
	0,15	0,20	0,45
	0,17	0,20	0,48
	0,25	0,05	0,60
	0,15	0,15	0,45
	0,25	0,20	0,55
	0,15	0,15	0,65
	0,23	0,20	0,45
	0,22	0,11	0,32
Вероятности обнаружения некоторых судов с помощью РЛС
№ варианта	Р(А/Н1)	Р(А/Н2)	Р(А/Н3)
	0,85	0,75	0,70
	0,82	0,65	0,52
	0,77	0,77	0,45
	0,63	0,60	0,55
	0,60	0,60	0,45
	0,43	0,63	0,55
	0,43	0,75	0,35
	0,55	0,55	0,45
	0,75	0,55	0,45
	0,65	0,15	0,15

Продолжение таблицы 1

Вероятности встречи соответствующего типа судов
№ варианта	Р(Н1)	Р(Н2)	Р(Н3)
	0,45	0,35	0,15
	0,55	0,30	0,10
	0,45	0,35	0,32
	0,43	0,31	0,17
	0,44	0,44	0,05
	0,35	0,35	0,09
	0,40	0,35	0,10
	0,27	0,30	0,15
	0,60	0,25	0,15
	0,65	0,05	0,05

Таблица 2 – Варианты для самостоятельного решения

№ варианта	Вероятность появления сигнала первого типа в системе,	Условная вероятность ошибки системы при действии сигнала первого типа,	Условная вероятность ошибки системы при действии сигнала второго типа,
	0,75	0,40	0,50
	0,80	0,35	0,55
	0,85	0,50	0,65
	0,65	0,35	0,53
	0,72	0,44	0,52
	0,68	0,57	0,60
	0,73	0,23	0,55
	0,85	0,45	0,57
	0,63	0,40	0,57
	0,85	0,45	0,63

Контрольные вопросы:

1. Учет главных и второстепенных факторов при описании типичных ситуаций судовождения.

2. Вероятностные методы исследования типичных ситуаций судовождения.

3. Случайное событие как ключевое понятие математической статистики.

4. Статистическая вероятность события и ее переход в математическую вероятность для типичных событий в судовождении.

5. Понятие про достоверное и невозможное событие.

6. Как в своей практической деятельности человек использует принцип практической уверенности?

7. Теорема сложения вероятностей зависимых и независимых событий.

8. В чем состоит основное положение теории надежности?

9. Теорема умножения вероятностей зависимых и независимых событий.

10. Формула полной вероятности и особенности ее использования для описания типичных ситуаций в судовождении.

11. Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности (формула Бейеса) и особенности ее использования для описания типичных ситуаций в судовождении.