В противном случае последовательность называется расходящейся

Опираясь на это определение, можно, например, доказать наличие предела A = 0 у гармонической последовательности { c_n } = {1/ n }. Пусть e – сколь угодно малое положительное число. Рассматривается разность

.

Существует ли такое N, что для всех n ³ N выполняется неравенство 1 /N < e? Если взять в качестве N любое натуральное число, превышающее1e /, то для всех n ³ N выполняется неравенство 1 /n £ 1 /N < e,что и требовалось доказать.

Доказать наличие предела у той или иной последовательности иногда бывает очень сложно. Наиболее часто встречающиеся последовательности хорошо изучены и приводятся в справочниках. Имеются важные теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела у данной последовательности (и даже вычислить его), опираясь на уже изученные последовательности.

Теорема 3.1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Теорема 3.2. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теорема 3.3. Если последовательность { a_n }имеет предел A, то последовательности { ca_n }, { a_n + с}и {| a_n |}имеют пределы cA, A + c, | A | соответственно (здесь c – произвольное число).

Теорема 3.4. Если последовательности { a_n }и { b_n } имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность { pa_n + qb_n } имеет предел pA + qB.

Теорема 3.5. Если последовательности { a_n } и { b_n }имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность { a_nb_n } имеет предел AB.

Теорема 3.6. Если последовательности { a_n }и { b_n } имеют пределы, равные A и B соответственно, и, кроме того, b_n ¹ 0 и B ¹ 0, то последовательность { a_n / b_n } имеет предел A/B.