Уравнение вида

Ax ²+ Bxy + Cy ² + Dx + Ey + F = 0, (11)

если хотя бы одна из трех величин A, B или C не равна нулю, называется уравнением второго порядка, а линия, представляемая таким уравнением, - кривой второго порядка. Частными случаями линий, определяемых общим уравнением (11), являются окружность, эллипс, гипербола и парабола.

2.1. Окружность.

Пусть дана окружность радиуса R с центром в точке М ₀(x ₀, y ₀). Найдем ее уравнение. Для любой точки М (x, y), принадлежащей окружности, расстояние от центра до этой точки постоянно и равно радиусу окружности R, то есть ММ ₀ =R (для точек, не лежащих на окружности, это равенство выполняться не будет). Из формулы для определения расстояния между двумя точками следует R= (рис. 5).

Таким образом, уравнение рассматриваемой окружности имеет вид:

y

. (12)

M0

Если центр окружности лежит в начале координат, то x ₀= y ₀= 0, а уравнение окружности приобретает вид x ² + y ² = R ².

x

Пример 9. Составить уравнение окружности радиуса 4 с центром в точке

М ₀(0,-3).

Рис. 5

Решение. В данном случае x ₀ = 0, y ₀ = -3,

R= 4, поэтому уравнение окружности имеет вид . ■

Пример 10. Выяснить геометрический смысл уравнения x ²+ y ²+6 x- 2 y+ 5=0.

Решение. Выделим в левой части уравнения полные квадраты: (x ²+6 x+ 9)+(y ²-2 y+ 1)+5-9-1=0. Отсюда . Таким образом, данное уравнение представляет собой уравнение окружности радиуса R= с центром в точке (-3,1). ■

2.2. Эллипс.

Эллипсом называется линия, для каждой точки которой сумма расстояний до двух фиксированных точек F ₁ и F ₂ (фокусов) есть постоянная величина, обозначаемая 2 а.

Если оси декартовой системы координат выбраны так, что фокусы данного эллипса располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат на расстоянии 2 с друг от друга, то в этой системе координат уравнение эллипса имеет простейший вид

. (13)

Уравнение (13) называется каноническим уравнением эллипса (оно может быть получено путем несложных алгебраических преобразований из равенства MF ₁+ MF ₂ = 2 a). Здесь а - большая полуось, b- малая полуось эллипса; фокусы F ₁ и F ₂ находятся на расстоянии с = от центра эллипса О (при этом предполагается, что a > b). Отношение = e называется эксцентриситетом эллипса (e < 1).

M(x,y)

-a

a

y

Если М (x, y) - произвольная точка эллипса, то отрезки MF ₁ и MF ₂ (рис. 6) называются фокальными радиусами точки M и определяются по формулам

MF ₁ = a + e x, MF ₂ = a- e x. (14)

-b

Замечание. Если a = b, то уравнение (13) определяет окружность, рассматриваемую как

Частный случай эллипса. При этом Рис. 6

эксцентриситет окружности e = 0.

Пример 11. Составить уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат и проходящего через точки М ₁(4,- ) и М ₂(2 ,3), а также найти расстояние между фокусами и эксцентриситет эллипса.

Решение. Подставляя координаты точек М ₁ и М ₂ в уравнение (13), получаем систему двух уравнений:

, .

Решая эту систему находим полуоси a= и b = . Искомое уравнение эллипса . Находим, далее, с = и расстояние между фокусами 2 с =2 . Эксцентриситет эллипса e = = = =0,5. ■

Пример 12. Убедившись, что точка М (-4; 2,4) лежит на эллипсе , определить фокальные радиусы точки М.

Решение. Подставляя координаты точки М в уравнение эллипса , получаем верное равенство, доказывающее, что М - точка эллипса. Фокальные радиусы точки М находим по формулам (14), полагая a= 5, b =4, с = = =3, e = = :

MF ₁ = a + ex = 5+ ×(-4) = 2,6; MF ₂ = a-ex = 5- ×(-4) = 7,4. ■