Замечания. 1. Если в (6.4) или , то частное решение y* также ищется в виде (6.5), (6.6), где (или

1. Если в (6.4) или , то частное решение y ^* также ищется в виде (6.5), (6.6), где (или ).

2. Если уравнение (6.1) имеет вид , то частное решение такого уравнения можно искать в виде , где – частное решение уравнения , а – частное решение уравнения .

Пример 6.2. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Соответствующее однородное уравнение имеет вид

,

характеристическое уравнение имеет корни . Общее решение однородного уравнения:

.

Правая часть данного уравнения есть сумма

.

Поэтому находим частные решения для каждого из трех уравнений:

.

Частное решение первого уравнения ищем в виде , так как является однократным корнем характеристического уравнения и – многочлен нулевой степени. Поскольку

,

то, подставляя эти выражения в первое уравнение, имеем

или и .

Частное решение второго уравнения будем искать в виде , так как в правой части второго уравнения не является корнем характеристического уравнения и – многочлен нулевой степени.

Определяя, как и выше, постоянную A, получим . Частное решение третьего уравнения будем искать в виде , так как в правой части третьего уравнения является однократным корнем характеристического уравнения и – многочлен первой степени. Поскольку , то, подставляя эти выражения в третье уравнение, имеем . Приравнивая коэффициенты при x и свободные члены в левой и правой частях равенства, получаем систему – , откуда находим .

Следовательно, .

Суммируя частные решения, получаем частное решение y^* исходного уравнения . Тогда общее решение данного неоднородного уравнения будет следующим:

Пример 6.3. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни . Поэтому общим решением соответствующего однородного уравнения будет . Для первой части данного уравнения – многочлен первой степени; – многочлен нулевой степени ; являются корнями характеристического уравнения. Поэтому частное решение данного уравнения ищем в виде или .

Находим

Подставляя в данное уравнение, имеем

Приравнивая коэффициенты при в обеих частях равенства, получаем систему

Решая эту систему, находим . Тогда

.

Общее решение будет . Находим . Так как то . Таким образом, . Подставляя значения в общее решение, получим частное решение .

Пример 6.4. Определить вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения, если известны корни , его характеристического уравнения и его правая часть

.

Решение. В правой части – многочлены нулевой степени, являются корнями характеристического уравнения. Поэтому частное решение будет иметь вид

,

где A и B – неопределенные коэффициенты.

7. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ. МЕТОД ЭЙЛЕРА РЕШЕНИЯ

ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

7.1. Нормальная система n -го порядка обыкновенных

дифференциальных уравнений

Нормальная система n -го порядка обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид

где t – независимая переменная; – неизвестные функции от – заданные функции.

Метод исключения неизвестных состоит в том, что данная система приводится к одному дифференциальному уравнению n -го порядка с одной неизвестной функцией (или к нескольким уравнениям, сумма порядков которых равна n). Для этого последовательно дифференцируют одно из уравнений системы и исключают все неизвестные функции, кроме одной.

Пример 7.1. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Дифференцируем первое уравнение по t: . Заменяя здесь ее значением из второго уравнения системы и подставляя , найденное из первого уравнения, получим после упрощения уравнение второго порядка .

Интегрируем это уравнение, предварительно понижая порядок:

Дифференцируя эту функцию и подставляя в выражение , получим

.

Общим решением данной системы дифференциальных уравнений будет

.

Для нахождения частного решения подставим начальные условия

. Получим , откуда .

Следовательно, искомым частным решением системы будет пара функций:

.

Пример 7.2. Найти общее решение системы

.

Решение. Дифференцируем первое уравнение: . Заменяем ее значением из второго уравнения и подставляем затем . Получим линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

.

Его общее решение

(получено как сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного

уравнения).

Подставляя x и в выражение для y, получим

.

Общее решение исходной системы имеет вид

7.2. Линейная однородная система n -го порядка

с постоянными коэффициентами

Линейная однородная система n -го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

где – неизвестные функции от t.

Данную систему можно записать в матричной форме

,

где

При решении линейной системы дифференциальных уравнений методом Эйлера частные решения системы ищутся в виде , где – матрица-столбец, – число.

Если корни характеристического уравнения действительны и различны, общее решение системы имеет вид

,

– произвольные постоянные, – собственный вектор-столбец матрицы A, соответствующий числу k, то есть , где E – единичная матрица.

Замечание. Если – пара простых комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения, то им соответствуют два действительных частных решения , где – действительные и мнимые части z.

Пример 7.3. Найти общее решение системы

и частное решение, удовлетворяющее условиям , .

Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение

Находим собственный вектор , соответствующий корню :

Аналогично находим собственные векторы

соответствующие .

Общее решение системы таково:

;

или

Для нахождения частного решения подставим в общее решение , и определим из полученной системы:

Искомое частное решение

.

Пример 7.4. Найти общее решение системы

Решение. Характеристическое уравнение

имеет корни . Находим собственный вектор , соответствующий корню из системы: Считая , получим . Составим выражение

.

Здесь использована формула . Согласно замечанию, два частных решения исходной системы имеют вид

.

Общим решением системы будет

или

7.3. Задачи динамики, приводящие к решению

дифференциальных уравнений

К задаче динамики точки, приводящей к решению дифференциальных уравнений, относятся те задачи, в которых определяется движение точки по заданным силам. Силы, действующие на точку, могут быть как постоянными, так и заданными функциями времени, координат, скорости, то есть

Решение таких задач сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений движения точки в координатной форме

(7.1)

или в естественной форме

(7.2)

В этих уравнениях под F понимается равнодействующая всех сил, в том числе и реакций связей, если точка не свободна. При интегрировании системы уравнений (7.1) в общем случае появляется шесть произвольных постоянных, которые определяются по начальным условиям. Под начальными условиями движения точки понимаются значения координат и проекций скорости точки в начальный момент движения, то есть при

Если движение точки происходит на плоскости, то число уравнений (7.1) сокращается до двух, а число начальных условий – до четырех. При движении точки по прямой будем иметь одно дифференциальное уравнение и два начальных условия.

При решении задач полезно придерживаться следующей последовательности.

1. Составить дифференциальное уравнение движения:

а) выбрать координатные оси, поместив их начало в начальное положение точки; если движение точки является прямолинейным, то одну из координатных осей следует проводить вдоль линии движения точки; б) изобразить движущуюся точку в произвольный текущий момент t и показать на рисунке все действующие на нее силы, в том числе и реакции связей, при наличии сил, зависящих от скорости, вектор скорости направить предположительно так, чтобы все его проекции на выбранные оси были поло-жительными; в) найти сумму проекций всех сил на выбранные оси и подставить эту сумму в правые части уравнений (7.1).

2. Проинтегрировать полученные дифференциальные уравнения. Интег-рирование производится соответствующими методами, зависящими от вида по-лученных уравнений.

3. Установить начальные условия движения материальной точки и по ним определить произвольные постоянные интегрирования.

4. Из полученных в результате интегрирования уравнений определить ис-комые величины.

Замечание 1. При интегрировании дифференциальных уравнений иногда целесообразно определить значения произвольных постоянных по мере их появления.

Пример 7.5. Автомобиль массы m движется прямолинейно из состояния покоя и имеет двигатель, который развивает постоянную тягу F, направленную в сторону движения, до полного сгорания горючего в момент времени Т, после чего автомобиль движется по инерции до остановки. Найти пройденный путь. Силу сопротивления считать постоянной и равной R. Изменением массы автомобиля пренебречь.

Решение. Весь путь S складывается из S ₁ = ê AC ê, на котором действует сила F до полного сгорания горючего и S ₂ = ê CB ê, который автомобиль идет по инерции. На пути АС:

; (7.3)

на пути СВ:

. (7.4)

Решим дифференциальное уравнение (7.3): ;

; при , откуда

. (7.5)

Интегрируя, получим ; при , откуда ; . Определим путь , который пройдет автомобиль до полного сгорания горючего в момент : . Решим уравнение (7.4): . При скорость x будет равна скорости, которую имеет автомобиль в момент Т сгорания горючего и которая из формулы (7.5) равна . Используя эти начальные условия, найдем :

.

Подставляя , имеем

; (7.6)

при .

Поэтому .

Чтобы найти путь , надо знать время t движения автомобиля по инерции до остановки ().

Из (7.6) получим

– путь, пройденный по инерции;

– искомый путь.

Вопросы для самоконтроля

Неопределенный интеграл

1. Какая функция называется первообразной для функции на интервале ? Привести несколько примеров.

2. Что называется неопределенным интегралом от функции ?

3. Каковы основные свойства неопределенного интеграла? Знать их и уметь доказывать.

4. Таблица основных интегралов. Как с помощью производной проверить справедливость табличных формул?

5. Привести примеры «неберущихся интегралов», т.е. интегралов, не выражающихся через элементарные функции.

6. В чем состоит метод поднесения под знак дифференциала для поиска неопределенного интеграла? Привести примеры.

7. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Привести примеры.

8. Формула интегрирования по частям. Привести примеры использования формулы для вычисления неопределенных интегралов.

9. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен:

10. Интегрирование выражений, содержащих радикалы (иррациональности) от линейных или дробно-линейных функций.

11. Интегрирование тригонометрических функций.

12. Применение тригонометрических подстановок при интегрировании некоторых иррациональных функций. Привести примеры.

Определенный интеграл

1. Что называется разбиением отрезка в интегральном исчислении?

2. Дать определение определенного интеграла как предела интегральных сумм.

3. Сформулировать и уметь обосновывать геометрический и механический смысл определенного интеграла .

4. Сформулировать условия интегрируемости функции на отрезке . Перечислить классы интегрируемых функций.

5. Основные свойства определенного интеграла.

6. Теорема о среднем для определенного интеграла.

7. Что называется определенным интегралом с переменным верхним пределом? Теорема о производной от этого интеграла по верхнему пределу.

8. Формула Ньютона–Лейбница. Привести примеры.

9. Замена переменной в определенном интеграле; в чем отличие этой замены от замены переменной в неопределенном интеграле?

10. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

11. Особенность вычисления определенного интеграла по симметричному относительно точки отрезку для случая:

а) нечетной функции f(x), x Î [ a; b ];

б) четной функции на отрезке [ a; b ].

12. Применение определенного интеграла для вычисления:

а) площади плоской фигуры при различных способах задания линии границы фигуры;

б) объема тела с известной площадью его поперечного сечения и тел вращения;

в) длины дуги плоской кривой при различных способах описания дуги (явное ее задание; параметрическое описание и задание в полярной системе координат).

13. Что называется несобственным интегралом функции :

а) по промежутку ;

б) по промежутку ;

в) по промежутку ?

14. Дать определение несобственного интеграла от неограниченной на отрезке функции .

15. Дать определение сходящихся и расходящихся несобственных интегралов. Привести примеры.

Функции нескольких переменных

1. Дать определение функции нескольких переменных. Привести примеры для случая двух, трех и более переменных.

2. Что называется областью определения и областью значений функции несколь-ких переменных?

3. Что называется графиком функции нескольких переменных?

4. Дать определение предела функции z = f (x, y) в точке M ₀(x ₀; y ₀).

5. Сформулировать арифметические свойства пределов функций двух переменных.

6. Дать определение непрерывности функции в точке .

7. Дать определение частных производных первого порядка по х и по y для функции ; знать различные виды обозначений частных производных.

8. Что такое полное приращение функции в точке ? Привести примеры.

9. Дать определение и сформулировать достаточное условие дифференцируемости функции в точке .

10. Дать определение полного дифференциала функции в точке . Привести инвариантную форму полного дифференциала.

11. Формула приближенного вычисления значения функции в точке с помощью полного дифференциала.

12. Дать определение частных производных второго, третьего и более высоких порядков функции . Сформулировать теорему о равенстве вторых смешанных производных.

13. Дать определение минимума и максимума в точке .

14. Необходимые условия экстремума функции нескольких переменных.

15. Достаточные условия экстремума функции .

16. Дифференцирование сложных и неявных функций нескольких переменных: привести соответствующие формулы.

17. Записать уравнения: а) касательной плоскости и б) нормали к поверхности при явном и при неявном задании поверхности.

18. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области с границей G: сформулировать алгоритм поиска.

Дифференциальные уравнения

и системы дифференциальных уравнений

1. Какое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением n -го порядка?

2. Записать общий вид обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка, разрешенного относительно старшей производной.

3. Дать определение задачи Коши для дифференциального уравнения . Сформулировать достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши.

4. Дать определения общего и частного решений, общего и частного интегралов обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка. Особое решение и особый интеграл.

5. ДУ с разделяющимися переменными: дать определение и описать алгоритм решения.

6. Однородное ДУ 1-го порядка: дать его определение; описать порядок поиска типа ДУ и изложить алгоритм решения.

7. Линейное ДУ 1-го порядка и ДУ Бернулли: дать их определения; изложить метод решения.

8. ДУ в полных дифференциалах: его определение, метод распознания типа ДУ и алгоритм решения.

9. Дать определение общего решения и частного решения обыкновенного ДУ n -го порядка. Сформулировать задачу Коши для него.

10. Перечислить некоторые ДУ 2-го порядка, допускающие понижение порядка; изложить алгоритм решения каждого такого ДУ.

11. Линейное однородное ДУ n -го порядка с постоянными коэффициентами: изложить алгоритм метода Эйлера его решения. Что такое характеристи-ческое уравнение для такого ДУ?

12. Изложить метод вариации произвольных постоянных для решения линейного неоднородного ДУ n -го порядка с постоянными коэффициентами.

13. Изложить алгоритм решения линейного неоднородного ДУ n -го порядка с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.

14. Дать определение нормальной системы n -го порядка обыкновенных ДУ. Описать метод исключения неизвестных для ее решения.

15. Изложить метод Эйлера решения линейной однородной системы ДУ n -го порядка с постоянными коэффициентами.

16. Задачи динамики, приводящие к дифференциальным уравнениям. Привести примеры.

КОНТРОЛЬНая работа № 2

1–20. Найти неопределенные интегралы:

1. a) ; б) ; в) ; г) .

2. а) ; б) ; в) ; г) .

3. а) ; б) ; в) ;

г) .

4. а) ; б) ; в) ;

г) .

5.

6. а) ; б) ; в) ;

г) .

7. а) ; б) ; в) ; г)

8. а) ; б) ; в) ; г)

9. а) ; б) ; в) ;
г) .

10. а) ; б) ; в) ; г) .

11. а) ; б) ; в) ; г)

12. а) ; б) ; в) ; г) .

13. а) ; б) ; в) ;

г) .

14. а) ; б) ; в) ; г) .

15. а) ; б) ; в) ; г) .

16. а) ; б) ; в) ;
г) .

17. а) ; б) ; в) ;

г) .

18. а) ; б) ; в) ; г) .

19. а) ; б) ; в) ; г) .

20. а) ; б) ; в) ; г) .

21–40. Приложения определенного интеграла.

21–26. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

21. . 22. .

23. . 24.

25. 26. .

27–33. Найти длину дуги кривой:

27. . 28. .

29. . 30. 31.

32. . 33. .

34–40. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

34. . 35. . 36. .

37. . 38. .

39. 40. .

41–60. Найти для функции .

41. . 42. . 43. . 44. .

45. . 46. . 47. . 48. . 49. .

50. . 51. . 52. .

53. . 54. . 55. . 56. .

57. . 58. . 59. .

60. .

61–80. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в заданной замкнутой области .

61. .

62. .

63. .

64. .

65. .

66. .

67. .

68. .

69. .

70. .

71. .

72. .

73. .

74. .

75. .

76. .

77. .

78. .

79. .

80. .

81–100. Проинтегрировать дифференциальное уравнение. При заданном начальном условии найти соответствующий частный интеграл или частное решение.

81. . 82. .

83. . 84. .

85. . 86. .

87. . 88. .

89. .

90. . 91. .

92. . 93. .

94. . 95. .

96. . 97. .

98. . 99. .

100. .

101–120. Проинтегрировать дифференциальные уравнения.

101. .

102. 103. .

104..

105. .

106. .

107. .

108. .

109.

110. .

111. .

112. . 113. .

114. .

115. .

116.

117. . 118. .

119. .

120. .

121–140. Найти общие решения уравнений.

121. . 123. . 125. . 127. . 129. . 131. . 133. . 135. . 137. . 139. .

122. . 124. . 126. . 128. . 130. . 132. . 134. . 136. . 138. . 140. .

ЛИТЕРАТУРА

1. Математика: сборник заданий для аудиторной и самостоятельной работы студентов инженерно-технических специальностей втузов: в 2 ч. / А. Н. Андриянчик [и др.]. – Минск: БНТУ, 2005. – Ч. 1.

2. Герасимович, А.И. Математический анализ. / А.И. Герасимович, Н.А. Рысюк. – Минск: Вышэйшая школа, 1990. – Ч. 1, 2

3. Гусак, А.А. Высшая математика: в 2 т. / А.А. Гусак. – Минск: Изд-во БГУ, 1978, 1983. – Т. 1, 2.

4. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1986. – Ч. 1, 2.

5. Жевняк, Р.М. Высшая математика: в 2 ч. / Р.М. Жевняк, А.А. Карпук. –Минск: Вышэйшая школа, 1985. – Ч. 1, 2.

6. Кудрявцев, Л.Д. Краткий курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев. – М.: Наука, 1989.

7. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов: в 3 т. / Н.С. Пискунов– М.: Наука: 1985. – Т. 1–3.

8. Сухая, Т.А. Задачи по высшей математике: учебное пособие: в 2 ч. / Т.А. Сухая. – Минск: Вышэйшая школа, 1993.

9. Высшая математика для инженеров / С.А. Минюк [и др.]; под ред. Н.А. Микулика. – Минск: Элайда, 2007. – Т. 1, 2.

10. Индивидуальные задания по высшей математике: в 4 ч. / под ред. А.П. Рябушко. – Минск: Вышэйшая школа, 2004.

11. Щипачев, В.С. Высшая математика / В.С. Щипачев. – М.: Высшая школа, 1985.

СОДЕРЖАНИЕ