Решение. 2.1.4. Площадь плоской фигуры

2.1.4. Площадь плоской фигуры

1. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = a, x = b,

(a < b), осью Ox и непрерывной кривой y = f (x) (f (x) ³ 0) вычисляется по формуле

.

Пример 2.4. Найти площадь области, ограниченной линиями y = x ²+1 и

y = 9 - x ².

Решение. Построим область (рис 2.1). Найдем абсциссы точек пересечения

A, B: , .

Так как фигура симметрична относительно оси Oy, то

Рис. 2.1.

Пример 2.5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x ², y = 4 x, 2 x + y - 3 = 0, (рис. 2.2).

Рис. 2.2.

Решение. Находим абсциссы точек пересечения A и B.

.

2. Если фигура ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями x = x (t), y = y (t), a £ t £ b, прямыми x = a, x = b и осью Ox, то

,

где a = x (a), b = x (b), y (t) ³ 0.

Пример 2.6. Найти площадь фигуры, ограниченной циклоидой
и прямой y = a, (а ³ 0).

Решение. Для нахождения пределов интегрирования по t решаем систему

.

Площадь фигуры A ₁ ACBB ₁ (рис. 2.3) выражается интегралом

.

Площадь прямоугольника AA ₁ B ₁ B равна ,
так как .

Искомая площадь .

Рис. 2.3.

3. Площадь сектора, ограниченного непрерывной кривой в полярных координатах r = r(j) и лучами j = a, j = b, (a > b), выражается интегралом

.

Пример 2.7. Найти площадь фигуры, ограниченной частью лемнискаты Бернулли , лежащей внутри окружности .

Решение. Уравнение лемнискаты Бернулли в полярных координатах: ; а окружности: (рис. 2.4).

Решаем систему: Отсюда

p

Рис. 2.4.

2.2. Вычисление длин дуг кривых. Вычисление объемов

Если плоская кривая задана уравнением y = f (x), где f (x) – непрерывно дифференцируемая функция, a £ x £ b, то длина l дуги этой кривой выражается интегралом

.

Если же кривая задана параметрическими уравнениями x = x (t), y = y (t)

(a £ t £ b), то .

Аналогично выражается длина дуги пространственной кривой, описанной параметрическими уравнениями: x = x (t), y = y (t), z = z (t), a £ t £ b:

.

Если задано полярное уравнение кривой r = r(j), a £ j £ b, то

.

Если площадь S (x) сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox, является непрерывной функцией на отрезке [ a, b ], то объем тела вычисляется по формуле

.

Объем V тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x), (f (x) ³ 0), осью абсцисс и прямыми x = a и

x = b (a < b), выражается интегралом

.

Пример 2.8. Вычислить длину дуги кривой , отсеченной прямой (рис. 2.5).

Рис. 2.5

Решение. Длина дуги АОВ равна удвоенной длине дуги ОА.

Пример 2.9. Вычислить длину дуги кривой
если t изменяется от t ₁ = 0 до t ₂ = p.

Решение. Дифференцируя по t, получаем

откуда .

Следовательно, .

Пример 2.10. Найти длину дуги кардиоиды r = a (1 + cosj), (a > 0, 0 £ j £ 2p) (рис. 2.6).

Решение. Здесь

. В силу симметрии .

Рис. 2.6.

Замечание. Построение линии ведется в полярной системе координат по точкам, которые в достаточном количестве записываются в виде таблицы их ко-ординат.

Пример 2.11. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями и (рис. 2.7).

Решение. Найдем абсциссы точек пересечения кривых:

–3

Рис. 2.7.

Искомый объем есть разность двух объемов: объема V ₁ тела, полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной прямой , и объема V ₂ тела, полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной параболой . Используя формулу , получаем

2.3. Несобственные интегралы

2.3.1. Интегралы с бесконечными пределами

(несобственные интегралы первого рода)

Если функция непрерывна при , то несобственным интегралом первого рода называется следующий предел:

.

Если существует конечный предел в правой части этой формулы, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же этот предел не существует или равен ¥, то расходящимся.

Аналогично определяются несобственные интегралы

,

,

где c Î R – число.

Пример 2.12. Вычислить .

Решение. Имеем:

.

Пример 2.13. Вычислить .

Решение. – непрерывная функция на ;

Тогда . Интеграл сходится.

2.3.2. Интегралы от неограниченных функций

(несобственные интегралы второго рода)

Если непрерывна при a < x < b и в точке x = b неограничена, то несобственным интегралом второго рода называется

.

Если существует конечный предел в правой части этой формулы, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же этот предел не существует или равен , то–расходящимся.

Аналогично определяется интеграл и в случае .

.

В случае, когда f (c) = ± , c Î (a, b), то

.

Пример 2.14. Вычислить или установить расходимость .

Решение. – непрерывна на (0, 1], . Следовательно, – несобственный интеграл второго рода. . следовательно, интеграл расходится.

3. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

3.1. Понятие функции нескольких переменных

Пусть D – произвольное множество точек n -мерного арифметического пространства. Если каждой точке P (x ₁, x ₂,..., x_n)Î D поставлено в соответствие некоторое действительное число f (P) = f (x ₁, x ₂,.., x_n), то говорят, что на множестве D задана числовая функция f от n переменных x ₁, x ₂,.., x_n. Множество D называется областью определения, а множество E = { u Î R | u = f (P), P Î D } – областью значений функции u = f (P).

В частном случае, когда n = 2, функцию двух переменных z = f (x, y) можно изобразить графически. Для этого в каждой точке (x, y)Î D вычисляется значение функции z = f (x, y). Тогда тройка чисел (x, y, z) = (x, y, f (x, y)) определяет в системе координат Oxyz некоторую точку P. Совокупность точек P (x, y, f (x, y)) образует график функции z = f (x, y), представляющий собой некоторую поверхность в пространстве R ³.

3.2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных

Число А называется пределом функции u = f (P) при стремлении точки P (x ₁, x ₂,..., x_n) к точке P ₀(a ₁, a ₂,..., a_n), если для любого e > 0 существует такое d > 0, что из условия следует . При этом пишут:

.

Функция u = f (P) называется непрерывной в точке , если:

1) функция f(P) определена в точке ;

2) существует ;

3) .

Функция называется непрерывной в области, если она непрерывна в каждой точке этой области. Если f (P) определена в некоторой окрестности точки и хотя бы одно из условий 1–3 нарушено, то точка называется точкой разрыва функции f (P). Точки разрыва могут быть изолированными, образовывать линии разрыва, поверхности разрыва и т.д.

3.3. Дифференцирование функций нескольких переменных

3.3.1. Частное и полное приращения функции

Пусть z = f (x, y) – функция двух независимых переменных и D (f) – область ее определения. Выберем произвольную точку и дадим приращение , оставляя значение неизменным. При этом функция f (x, y) получит приращение:

которое называется частным приращением функции f (x, y) по x.

Аналогично, считая постоянной и давая приращение ,

получим частное приращение функции z = f (x, y) по y:

Полным приращением функции в точке называют приращение , вызываемое одновременным приращением обеих независимых переменных x и y:

.

Геометрически частные приращения и полное приращение функции можно изобразить соответственно отрезками (рис. 3.1).

Рис. 3.1.

Пример 3.1. Найти частные и полное приращения функции в точке , если .

Решение. Вычислим значения

Если , то для нее рассматриваются частные приращения и полное приращение .

3.3.2. Частные производные

Определение. Частной производной функции z = f (x, y) по переменной x называется предел отношения частного приращения функции к приращению аргумента , когда последнее стремится к нулю:

.

Частную производную функции по переменной x обозначают символами

Таким образом,

.

Определение. Частной производной функции z = f (x, y) по переменной y называется предел отношения частного приращения функции к приращению аргумента , когда последнее стремится к нулю:

.

Применяются также обозначения .

Частные приращения и частные производные функции n переменных при n > 2 определяются и обозначаются аналогично. Так, например, пусть точка – произвольная фиксированная точка из области определения функции . Придавая значению переменной приращение , рассмотрим предел

Этот предел называется частной производной (1-го порядка) данной функции по переменной в точке и обозначается

.

Пример 3.2. Найти , где .

Решение. Для нахождения считаем y, z константами, а функцию – функцией одной переменной x. Тогда

Аналогично .

Частными производными 2-го порядка функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Производные второго порядка обозначаются следующим образом:

Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка выше второго.

Пример 3.3. Найти частные производные второго порядка для функции .