Теорема Кронекера – Капеллі

Для того, щоб система лінійних рівнянь була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг її основної матриці дорівнював рангу розширеної матриці, тобто r(A) = r(A), де A - розширена матриця, яка утворюється з основної шляхом приписування до неї стовпчика вільних членів.

Завдання №1:

а) обчислити суму, різницю та добуток матриць А (табл. 1.1) та В (табл.1.2);

б) для матриць А та В виконати дії: (2А - 3В) · (3А + 2В);

в) перевірити рівність Δ А·Δ В = Δ (А·В), використавши різні способи обчислення

визначників (метод трикутників, метод Саррюса, теорему 1);

г) для матриць А та В знайти обернені матриці А^-1 та В^-1, зробити перевірку;

д) обчислити визначник та ранг матриці четвертого порядку (табл.1.4).

. Завдання № 2. Розв'язати систему лінійних рівнянь (табл.1.3) методом Крамера (методом

визначників), методом оберненої матриці та методом Гаусса, порівняти результати.

Завдання №3. Розв'язати систему лінійних рівнянь 4-го порядку методом Гаусса, виписавши

розширену матрицю системи і зводячи її до трапецієвидного (або трикутного) виду,

застосувавши елементарні перетворення з рядками матриці.

Зворотнім ходом відновити систему і знайти її розв'язки.

ПРИКЛАД 1. Обчислити визначник та ранг матриці четвертого порядку.

А= ΔА = 1· А₁₁+1· А₁₂ -1· А₁₃ +1· А₁₄

А= =1· -1· -1· - 1·

=36+6-9+6-12-27=0

=24*3+24-24+24-24-72=0

=-36-16+8-12+8+48=0

=36+48-24-36-24+24-24=0

ΔА = 0, тобто ранг < 4. Визначимо ранг матриці зведенням до ступінчатого виду:

1) помножимо 1-й рядок на –4 і додамо до 2-го та 4-го; 2) помножимо 1-й рядок на 8 і складемо з 3-м;

. Ранг = 3.